郭硕鸿《电动力学》课后答案.doc

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电动力学答案 第一章 电磁现象的普遍规律 1. 根据算符的微分性与向量性,推导下列公式: 解:(1) (2)在(1)中令得: , 所以 即 2. 设是空间坐标的函数,证明: , , 证明: (1) (2) (3) 3. 设为源点到场点的距离,的方向规定为从源点指向场点。 (1)证明下列结果,并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系: ; ; ; , 。 (2)求 , , , ,及 ,其中、及均为常向量。 (1)证明: 可见 可见 , (2)解: 因为为, , 又, 为,而, 所以 4. 应用高斯定理证明,应用斯托克斯(Stokes)定理证明 证明:(I)设为任意非零常矢量,则 根据矢量分析公式 , 令其中,,便得 所以 因为是任意非零常向量,所以 (II)设为任意非零常向量,令,代入斯托克斯公式,得 (1) (1)式左边为: (2) (1)式右边为: (3) 所以 (4) 因为为任意非零常向量,所以 5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 ,利用电荷守恒定律证明p的变化率为: 证明:方法(I) 因为封闭曲面S为电荷系统的边界,所以电流不能流出这边界,故 , 同理 , 所以 方法(II) 根据并矢的散度公式得: 6. 若m是常向量,证明除点以外,向量的旋度等于标量的梯度的负值,即,其中R为坐标原点到场点的距离,方向由原点指向场点。 证明: 其中 , () , () 又 所以,当时, 7. 有一内外半径分别为和的空心介质球,介质的电容率为,使介质球内均匀带静止自由电荷,求:(1)空间各点的电场;(2)极化体电荷和极化面电荷分布。 解:(1)设场点到球心距离为。以球心为中心,以为半径作一球面作为高斯面。 由对称性可知,电场沿径向分布,且相同处场强大小相同。 当时,, 。 当时, , , 向量式为 当时, 向量式为 (2)当时, 当时, 当时, 8. 内外半径分别为和的无穷长中空导体圆柱,沿轴向流有恒定均匀自由电流,导体的磁导率为,求磁感应强度和磁化电流。 解:(1)以圆柱轴线上任一点为圆心,在垂直于轴线平面内作一圆形闭合回路,设其半径为。由对称性可知,磁场在垂直于轴线的平面内,且与圆周相切。 当 时,由安培环路定理得: 当 时,由环路定理得: 所以 , 向量式为 当 时, 所以 , 向量式为 (2)当 时,磁化强度为 所以 在 处,磁化面电流密度为 在 处,磁化面电流密度为 向量式为 11. 平行板电容器内有两层介质,它们的厚度分别为和,电容率为和,今在两板接上电动势为E 的电池,求:(1)电容器两极板上的自由电荷面密度和; (2)介质分界面上的自由电荷面密度。(若介质是漏电的,电导率分别为和 当电流达到恒定时,上述两物体的结果如何?) 解:忽略边缘效应,平行板电容器内部场强方向垂直于极板,且介质中的场强分段均匀,分别设为和,电位移分别设为和,其方向均由正极板指向负极板。当介质不漏电时,介质内没有自由电荷,因此,介质分界面处自由电荷面密度为 取高斯柱面,使其一端在极板A内,另一端在介质1内,由高斯定理得: 同理,在极板B内和介质2内作高斯柱面,由高斯定理得: 在介质1和介质2内作高斯柱面,由高斯定理得: 所以有 , 由于????E E 当介质漏电时,重复上述步骤,可得: , , 介质1中电流密度 介质2中电流密度 由于电流恒定,, 再由 E ??得 E E E E E 13.试用边值关系证明:在绝缘介质与导体的分界面上,在静电情况下,导体外的电场线总是垂直于导体表面;在恒定电流情况下,导体内电场线总是平行于导体表面。 证明:(1)设导体外表面处电场强度为,其方向与法线之间夹角为,则其切向分量为。在静电情况下,导体内部场强处处为零,由于在分界面上的切向分量连续,所以 因此 即只有法向分量,电场线与导体表面垂直。 (2)在恒定电流情况下,设导体内表面处电场方向与导体表面夹角为,则电流密度与导体表面夹角也是。导体外的电流密度,由于在分界面上电流密度的法向分量连续,所以 因此 即只有切向分量,从而只有切向分量,

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