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第一章 信号的分类与描述
1-1 求周期方波(见图1-4)的傅里叶级数(复指数函数形式),划出|cn|–ω和φn–ω图,并与表1-1对比。
解答:在一个周期的表达式为
积分区间取(-T/2,T/2)
所以复指数函数形式的傅里叶级数为
,。
没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。
1-2 求正弦信号的绝对均值和均方根值。
解答:
1-3 求指数函数的频谱。
解:
1-4 求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数(见图1-25b)的频谱。
a)符号函数的频谱
t=0处可不予定义,或规定sgn(0)=0。
该信号不满足绝对可积条件,不能直接求解,但傅里叶变换存在。
可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘,这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x1(t)的频谱,然后取极限得出符号函数x(t)的频谱。
b)阶跃函数频谱
在跳变点t=0处函数值未定义,或规定u(0)=1/2。
阶跃信号不满足绝对可积条件,但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件,不能直接求其傅里叶变换,可采用如下方法求解。
解法1:利用符号函数
结果表明,单位阶跃信号u(t)的频谱在f=0处存在一个冲激分量,这是因为u(t)含有直流分量,在预料之中。同时,由于u(t)不是纯直流信号,在t=0处有跳变,因此在频谱中还包含其它频率分量。
解法2:利用冲激函数
根据傅里叶变换的积分特性
(见图1-26)的傅里叶变换。
解:
(t)为矩形脉冲信号
所以
可见的频谱等于将矩形的频谱一分为二,各向左右移动f0,同时谱线高度减小一半。
1-6 求指数衰减振荡信号的频谱
解:
所以
单边指数衰减信号
根据频移特性和叠加性得:
1-7 设有一时间函数f(t)及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡。在这个关系中,函数f(t)叫做调制信号,余弦振荡叫做载波。试求调幅信号的傅里叶变换,示意画出调幅信号及其频谱。又问:若时将会出现什么情况?
解:
所以
可见调幅信号的频谱等于将的频谱一分为二,各向左右移动载频ω0,同时谱线高度减小一半。
将发生混叠。
1-8 求正弦信号的均值、均方值和概率密度函数p(x)。
解答:
(1),式中—正弦信号周期
(2)
(3)在一个周期内
第二章 测试装置的基本特性
2-1 进行某动态压力测量时,所采用的压电式力传感器的灵敏度为90.9nC/MPa,将它与增益为0.005V/nC的电荷放大器相连,而电荷放大器的输出接到一台笔式记录仪上,记录仪的灵敏度为20mm/V。试计算这个测量系统的总灵敏度。当压力变化为3.5MPa时,记录笔在记录纸上的偏移量是多少?
解:若不考虑负载效应,则各装置串联后总的灵敏度等于各装置灵敏度相乘,即
S=90.9(nC/MPa)(0.005(V/nC)(20(mm/V)=9.09mm/MPa。
偏移量:y=S(3.5=9.09(3.5=31.815mm。
2-2 用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s、2s和5s的正弦信号,问稳态响应幅值误差将是多少?
解:设一阶系统,
,T是输入的正弦信号的周期
稳态响应相对幅值误差,将已知周期代入得
2-3 求周期信号x(t)=0.5cos10t+0.2cos(100t?45()通过传递函数为H(s)=1/(0.005s+1)的装置后得到的稳态响应。
解:,,
该装置是一线性定常系统,设稳态响应为y(t),根据线性定常系统的频率保持性、比例性和叠加性得到
y(t)=y01cos(10t+(1)+y02cos(100t?45(+(2)
其中,
,
所以稳态响应为
2-4 气象气球携带一种时间常数为15s的一阶温度计,以5m/s的上升速度通过大气层。设温度按每升高30m下降0.15℃的规律而变化,气球将温度和高度的数据用无线电送回地面。在3000m处所记录的温度为?l℃。试问实际出现?l℃的真实高度是多少?
解:该温度计为一阶系统,其传递函数设为。温度随高度线性变化,对温度计来说相当于输入了一个斜坡信号,而这样的一阶系统对斜坡信号的稳态响应滞后时间为时间常数(=15s,如果不计无线电波传送时间,则温度计的输出实际上是15s以前的温度,所以实际出现?l℃的真实高度是
Hz=H-V(=3000-5(15=2925m
2-5 想用一个一阶系统做100Hz正弦信号的测量,如要求限制振幅误差在5%以内,那么时间常数应取多少?若用该系统测量50Hz正弦信号,问此时的振幅误差和相角差是多少?
解:设该一阶系统的频响函数为
,(是时间常数
则
稳态响应相对幅值误差
令(≤5%,f=100Hz,解得(≤523(s。
如果f=
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