第四章基于线性代数与差分方程方法的模型.ppt

第四章 数学建模基地 早期密码 其中 从（4.11）式中易得 经过计算，矩阵 M的特征值和特征向量为 ， ， ， ， ， , M对角化，则有 (4.12) 其中： 当 时 因此，当 时，（4.12）式中 即 因此，在极限情况下所有同胞对或者是 （A,AA）型，或者是（a,aa）型。如果初始的父母体同胞对 是（A,Aa）型，即b0=1，而a0= c0= d0= e0= f0=0，于是，当 时 即同胞对是(A,AA)型的概率是2/3，是(a,aa)型的概率为1/3。 （正则链与吸收链） 根据转移矩阵的不同结构，马氏链可以分为多个不同的类型，这里，我们只简单介绍其中常见而又较为重要的两类：正则链与吸收链。 定义2 对于马氏链，若存在一正整 数K，使其转移矩阵 的K次幂MK0（每一分量均大 于0），则称此马尔链为一正则（regular）链。 定理2 若A为正则链的转移矩阵，则必有： （1）当 时， ，其中W为一分量均大于零 的随机矩阵。 （2）W的所有行向量均相同。 定理3 记定理 2中的随机矩阵W的行向量为V=(v1,…,vn),则： （1）对任意随机向 量x，有 （2）V是A的不动点向量,即VA=V, A的不动点向量是唯一的。 定义3 状态Si 称为马氏链的吸收状态，若转移矩阵的 第i 行满足：Pii=1，Pij=0（j≠i） 定义4 马氏链被称为 吸收链，若其满足以下两个条件： （1）至少存在一个吸收状态 。 （2）从任一状态出发 ,经有限步转移总可到达某一吸收 状态 根据定义3，例4.7中状态S4即 为一吸收链 , 利用这一逆矩阵，可对截获密文进行解密，破译出的电文是Dear Mac God forbid. 这只是对最简单情况进行的举例，如果加密矩阵的阶数大于2，需要的密文应该有较长长度，所需的计算量也是很大的。破译的关键是猜 中n及n个独立的n维向量，其后求解加密矩阵的计算量仅为 O(n2 )。 希尔密码体制中有两个要素非常重要： 第一是字母 与n维向量进行转换所依据的非负整数表，本节中所举的是最自然的情况；当然如果依据其它的整数表也是完全可以进行的，其情况将会更复杂一些，破译的难度就会增大。 第二个要素是加密矩阵，如何定义、求解这个矩阵对于密码的加密和破译更加关键。唯一的要求是加密时应选择行列式值与 26无公因子的矩阵。 RSA公开密钥体制 传统的密码通讯只能在事先约定的双方间进行，双方必须掌握相同的密钥，而密钥的传送必须使用另外 的“安全信道”。这样如果要使 n个用户都能够秘密的交换信息，则每个用户将需要用个密钥，这种巨大的密钥量给密钥的分配与管理带来了极大的困难；此外在有些情况下，事先约定密钥还是不可能的。 公开密钥体制的提出就是为了从根本上解决上述问题 。其基本思想是：把密钥划分为公开密钥和秘密密钥两部分 ,两者互为逆变换，但几乎不可能从公开密钥推出秘密密钥 .每个使用者均有自己的公开及秘密密钥。 虽然只要能解密的密文，从理论上讲 都是可破译的，但如果破译所需要 的工作量过大，要求花费的时间过 长，以致超过了必威体育官网网址期限，则该密 码系统应当被认为是安全可靠的。 定义1 设n为一正整数，将小 于n且与n互素的正整数个数记为Φ (n)，称之为欧拉（Euler L.）Φ函数。 不难证明：若 p，q为两个相异素数，n=p×q，则 φ(n) =(p-1)(q-1) 令p,q为随机选取的两个大素数（大约为十进 制100位或更大）, n=pq, n是公开的， 而p,q则是必威体育官网网址的。仅知道欧拉函数φ(n) =(p-1)(q-1)，但如果不知道因式分解就不能用这个公式计算。随机选取一个 数e，e为小于φ(n)且与它互素的正整数。利用辗转相除法，可以找到整 数d和r，使 ed+rφ(n) =1 即 ed ≡ 1 (mod φ(n)) 数n,e和d分别称为模、加密密钥和解密密钥。 数n和e组成公开密钥的加密密钥，而其余的 项p,q, φ(n)和 d 组成了秘密陷门。很显然，陷门信息包含了四个相关的项。 若知道φ(n),则由 pq=n p+q=n-φ(