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命题逻辑 谓词逻辑 非经典逻辑 数理逻辑概述 数理逻辑是用数学的方法研究思维规律的一门学科。由于它使用了一套符号，简洁的表达出各种推理的逻辑关系，因此数理逻辑一般又称为符号逻辑。 数理逻辑和计算机的发展有着密切的联系，它为机器证明、自动程序设计、计算机辅助设计等计算机应用和理论研究提供必要的理论基础。 数理逻辑的发展前期 前史时期——古典形式逻辑时期：亚里斯多德的直言三段论理论 初创时期——逻辑代数时期（17世纪末） (1)资本主义生产力大发展，自然科学取得了长足的进步，数学在认识自然、发展技术方面起到了相当重要的作用。 (2)人们希望使用数学的方法来研究思维，把思维过程转换为数学的计算。 数理逻辑的发展前期 (3)莱布尼兹(Leibniz, 1646~1716)完善三段论，提出了建立数理逻辑或者说理性演算的思想： 提出将推理的正确性化归于计算，这种演算能使人们的推理不依赖于对推理过程中的命题的含义内容的思考，将推理的规则变为演算的规则。 使用一种符号语言来代替自然语言对演算进行描述，将符号的形式和其含义分开。使得演算从很大程度上取决与符号 的组合规律，而与其含义无关。 数理逻辑的发展前期 (4)布尔(G. Boole, 1815~1864)代数：将有关数学运算的研究的代数系统推广到逻辑领域，布尔代数既是一种代数系统，也是一种逻辑演算。 数理逻辑的奠基时期 弗雷格(G.Frege,1848~1925)：《概念语言—一种按算术的公式语言构成的纯思维公式语言》(1879)的出版标志着数理逻辑的基础部分—命题演算和谓词演算的正式建立。 皮亚诺(Giuseppe Peano, 1858~1932)：《用一种新的方法陈述的算术原理》(1889)提出了自然数算术的一个公理系统。 数理逻辑的奠基时期 罗素(Bertrand Russell,1872~1970)：《数学原理》(与怀特黑合著，1910, 1912, 1913)从命题演算和谓词演算开始，然后通过一元和二元命题函项定义类和关系的概念，建立了抽象的类演算和关系演算。由此出发，在类型论的基础上用连续定义和证明的方式引出了数学（主要是算术）中的主要概念和定理。 数理逻辑的奠基时期 逻辑演算的发展：甘岑(G. Gentzen)的自然推理系统(Natural Deduction System)，逻辑演算的元理论：公理的独立性、一致性、完全性等。 各种各样的非经典逻辑的发展：路易斯(Lewis, 1883~1964)的模态逻辑，实质蕴含怪论和严格蕴含、相干逻辑等，卢卡西维茨的多值逻辑等。 第1章 命题逻辑 命题逻辑研究的是以原子命题为基本单位的推理演算，其特征在于，研究和考查逻辑形式时，我们把一个命题只分析到其中所含的原子命题成分为止。通过这样的分析可以显示出一些重要的逻辑形式，这种形式和有关的逻辑规律就属于命题逻辑。 第1章 命题逻辑 内容提要： 1. 命题逻辑的基本概念、命题联结词 2. 命题公式、自然语言的形式化 3. 命题公式的等值和蕴含 4. 范式 5. 联结词的完备集 6. 推理理论 7. 命题逻辑在计算机科学中的应用 1.1 命题与联结词 1.1.1 命题与命题变元 定义1.1 能够分辨真假的陈述句叫做命题（Proposition） 。 该定义有两层含义： (1)命题是陈述句。其他的语句，如疑问句、祈使句、感叹句均不是命题； (2)这个陈述句表示的内容可以分辨真假，而且不是真就是假，不能不真也不假，也不能既真又假 1.1 命题与联结词 作为命题的陈述句所表示的判断结果称为命题的真值，真值只取两个值：真或假。凡是与事实相符的陈述句是真命题，而与事实不符合的陈述句是假命题。通常用1（或字母T）表示真，用0（或字母F）表示假。 1.1 命题与联结词 例1.1 判断下列语句是否为命题，并指出其真值。 （1）北京是中国的首都。 （2）5可以被2整除。 （3）2+2=5。 （4）请勿吸烟。 （5）乌鸦是黑色的吗？ （6）这个小男孩多勇敢啊！ （7）地球外的星球上存在生物。 （8）我正在说谎。 1.1 命题与联结词 注意： 一个语句本身是否能分辨真假与我们是否知道它的真假是两回事。也就是说，对于一个句子，有时我们可能无法判定它的真假，但它本身却是有真假的，那么这个语句是命题，否则就不是命题。 悖论不是命题。 1.1 命题与联结词 命题的分类 原子命题（Automic Proposition）：是指不能再分解为更简单命题的命题； 复合命题（Compound Proposition）：是指由若干命题用联