矩阵的概念及运算.ppt

* 第二节 矩阵的概念及运算 一 矩阵的概念 例1 某公司生产四种产品A,B,C,D,第一季度的销量分别如下表所示： 产品 销量 月份 A B C D 一月 300 250 220 180 二月 320 230 200 200 三月 310 280 210 220 为了研究方便，在数学中常把表中的说明去掉，将上表简化为如下的矩形数表： 此表在数学上称为矩阵。 定义 由 个数，排成的m行n列的数表 叫做m行n列矩阵（或 矩阵）；其 中 叫做矩阵的元素； 分别叫做 的行标和列标。 通常用大写字母 或 表示矩 阵，也可记作 或 n阶方阵（m=n时）： 行矩阵（m=1时）： 列矩阵（n=1时）： 零矩阵： 或 主对角线（方阵中元素 所在的对角线） 对角方阵（除主对角线外，其余元素均为0的方阵）： 如 为对角方阵 上三角阵 例如 为上三角阵 下三角阵 例如 为下三角阵 对称阵 满足 例如 为对称阵 单位阵 例如 为单位阵 转置矩阵：把矩阵A的行换成同序数的列，得到的新矩阵，称为A的转置矩阵，记作 例如， ，则 矩阵的相等： （即：矩阵的相等恰意味着元素对应相等） 二 矩阵的加法与减法 设 规定 （即：矩阵的加减意味着元素对应相加减） 如： 则 注意：两个矩阵只有当它们的行数、列数分别相同时，才可进行加减。 矩阵加法满足以下规律： （1）交换律：A+B=B+A （2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C) （其中A,B,C都是 矩阵） 例2 已知 并且A=B+C,求矩阵B和C 。 三 数与矩阵相乘 数k与矩阵 的乘积规定为 即 并规定 kA=Ak 数与矩阵的乘法满足以下规律： （1）分配律： k(A+B)=kA+kB (k+h)A=kA+hA （2）结合律：k(hA)=(kh)A （其中，A，B都是 矩阵，k，h为任意常数） 例3 已知 求 四 矩阵与矩阵相乘 先看一个例子： 某厂生产两种产品，第一季度的销售额如表（1）所示（单位：千元），表（2）为产品 质量全为一等品或全为二等品时的利润表。 产品 A B 等级 一等品 二等品 月份 产品 一月 5 7 A 20% 10% 二月 6 10 B 30% 15% 三月 8 12 表（1） 表（2） 因此，该厂产品若全为一等品或全为二等品时利润如下所示。 等级 一等品 二等品 月份 一月 二月 三月 上述三个数表，用矩阵表示为 可记C=AB 。其中 而 （即A的第i行与