人教版高中数学对数函数教案.docVIP

对数函数教案 一、知识点提要 函数叫对数函数，其定义域为（0，+∞），值域是R． 结合图象，熟练掌握对数函数的性质． （3）熟记以及的图象及相互关系，并通过图象掌握对数的单调性，注意底对图象的影响． （4）比较两对数值的大小时，应根据对数函数的单调性，对照对数函数的图象进行判断． 二、重点难点突破 （1）对数函数与指数函数互为反函数，学习时要互相对照、互相比较，以加深理解． （2）记忆对数函数的图象的性质时，应分a＞1和0＜a＜1两种情况． （3）注意分界点（1，0），它决定函数值的正负． 三、热点考题导析 例1．求函数的定义域． 解： 即 ∴函数的定义域为 点评：求函数的定义域，往往可转化为解不等式． 例2．比较下列各组数的大小，并说明理由． （1）． （2） （3） 解：（1）是减函数， （2）是增函数， （3） 教师点评：本例给出了比较两个对数大小的常用方法：（1）和（2）的解法是利用了对数函 数的单调性；（3）利用了对数函数的性质。另外，三个数以上比较大小，0和1 是两把尺度。 例3．求函数 定义域、值域、单调区间． 解：定义域为 （x＞3或x＜2），由二次函数的图象可知（图象略） 0＜u＜+∞，故原函数的值域为（-∞，+∞）． 原函数的单调性与u的单调性一致．∴原函数的单调增区间为（3，+∞），单调减区间为（－∞，2）． 学生演板： （1）已知f（x）的图象g（x）=的图象关于直线y=x对称，求的单调减区间．（先求g（x）=的反函数 单调减区间为（0，1]） 例4．设函数 （1）试判断函数f（x）的中单调性，并给出证明； （2）若f（x）的反函数为，证明方程=0有唯一解． 分析：为求单调性，需先求定义域，在定义域中利用单调性的定义作出判断．（1）可先请同学用数字试一下，以便做到心中有数． 解：（1）由 解得函数f（x）的定义域为（-1，1）． 设则 = 又 又（1+ 即 故函数f（x）在区间（-1，1）内是减函数． （2）这里并不需要先求出f（x）的反函数，再解方程 即是方程的一个解． 若方程还有另一解则又由反函数的定义知 这与已知矛盾． 故方程有唯一解． 教师点评：（1）中用定义证明了单调性，虽较复杂，但很重要，应掌握．可先用数字试探 一下，以便做到心中有数．（由（2）知函数在定义域上是单调的，因为存在反 函数） （2）中告诉我们并不需要求出反函数，其思维过程，妙用了互为反函数的函数 定义域和值域之间的关系，既考虑存在性又反证了唯一性，这是一个好题，我 们甚至可以求解不等式； 请读者自己完成． 例5．若函数 （1）若函数的定义域为R，求a的取值范围． （2）若函数的值域为R，求a的取值范围． 若函数在上是增函数，求a的取值范围． 解：（1）定义域为R，是指不等式的解集为R，即 （2）值域为R，是指能取遍（0，+∞）中的所有的值．∴只需 即或 （3）在上为减函数且大于0，由图象可知： 教师点评：对数函数的定义域为R，即指不等式的解集为R．值域为R指对数函数的真数 能取遍所有的正数，不要认为判别式大于或等于0，那么在x轴下面的部分是负 数似乎不合题意，实质上定义域会排掉x轴下面的负的函数值．要画个图仔细 研究．在（3）中特别要注意在区间上函数大于0． 例6．已知函数 （1）判断f（x）的奇偶性； （2）解关于x的方程 （3）解关于x的不等式： 解：（1）设则 它的定义域为（-1，1）． ∴f（x）为奇函数． （2）由f（x）=即得 （3）由即得： （a）当m＞1时，解得： （b）当时， 解得： 由（a）、（b）知，当m＞1时，原不等式解集为 教师点评：本题涉及到求函数的表达式，解对数方程，对数不等式．要注意对底数m的讨 论． 四、课堂练习 （1）求函数f（x）=的定义域. （定义域为 （2）定义在全体实数上的奇函数要使求x的取值范围． 若在区间[0，1]上是减函数，求a的取值范围．（（1，2）） 五、高考试题 （1）（2001年上海，1）设函数 ，则满足的x值为 ． 答案：3 分析：当时，值域为当时值域为（0，+∞） （2）（2001年上海，4）设集合A= 则的元素个数为 ． 答案：1 分析：集合A： 而x=5时，的元素个数为1． （3）（93年全国文，25）解方程： 答案： 分析：解得