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知识点9：应力状态理论和强度理论 一、 应力状态理论 （一） 应力状态的概念 １．一般情况下，受力构件内各点的应力是不同的，且同一点的不同方位截面上应力也不相同。过构件内某一点不同方位上总的应力情况，称为该点的应力状态。 ２．研究一点的应力状态，通常是围绕该点截取一个微小的正六面体（即单元体）来考虑。单元体各面上的应力假设是均匀分布的，并且每对互相平行截面上的应力，其大小和性质完全相同，三对平面上的应力代表通过该点互相垂直的三个截面上的应力。当单元体三个互相垂直截面上的应力已知时，可通过截面法确定该点任一截面上的应力。截取单元体时，应尽可能使其三个互相垂直截面的应力为已知。 ３．单元体上切应力等于零的截面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。过受力构件内任一点，一定可以找到一个由三个相互垂直主平面组成的单元体，称为主单元体。它的三个主应力通常用(１，(２和(３来表示，它们按代数值大小顺序排列，即(１＞(２＞(３。 ４．一点的应力状态常用该点的三个主应力来表示，根据三个主应力的情况可分为三类：只有一个主应力不等于零时，称为单向应力状态；有两个主应力不等于零时，称为二向应力状态（或平面应力状态）；三个主应力都不等于零时，称为三向应力状态。其中二向和三向应力状态称为复杂应力状态，单向应力状态称为简单应力状态。 5．研究一点的应力状态是对构件进行强度计算的基础。 （二）平面应力状态的分析 １．分析一点的平面应力状态有解析法和图解法两种方法，应用两种方法时都必须已知过该点任意一对相互垂直截面上的应力值，从而求得任一斜截面上的应力。 ２．应力圆和单元体相互对应，应力圆上的一个点对应于单元体的一个面，应力圆上点的走向和单元体上截面转向一致。应力圆一点的坐标为单元体相应截面上的应力值；单元体两截面夹角为(，应力圆上两对应点中心角为２(；应力圆与(轴两个交点的坐标为单元体的两个主应力值；应力圆的半径为单元体的最大切应力值。 ３．在平面应力状态中，过一点的所有截面中，必有一对主平面，也必有一对与主平面夹角为４５(的最大（最小）切应力截面。 ４．在平面应力状态中，任意两个相互垂直截面上的正应力之和等于常数。 图9-1（a）所示单元体为平面应力状态的一般情况。单元体上，与x轴垂直的平面称为x平面，其上有正应力(x和切应力(xy；与y轴垂直的平面称为y平面，其上有正应力(y和切应力(yx；与z轴垂直的z平面上应力等于零，该平面是主平面，其上主应力为零。平面应力状态也可用图9-1（b）所示单元体的平面图来表示。设正应力以拉应力为正，切应力以截面外法线顺时针转90(所得的方向为正，反之为负。 （a） （b） （c） 图9-1 图9-1（c）所示斜截面的外法线与x轴之间的夹角为(。规定(角从x轴逆时针向转到截面外法线n方向时为正。(斜截面上的正应力和切应力为： 最大正应力和最小正应力 最大正应力和最小正应力是平面应力状态的两个主应力，其所在截面即为两个主平面，方位由下式确定： 最大切应力和最小切应力 最大切应力和最小切应力所在截面相互垂直，且和两个主平面成45(，其方位由下式确定： （三）平面应力状态分析的图解法 １．在(，(直角坐标系中，平面应力状态可用一个圆表示，如图9-2所示。其圆心坐标为，半径为。该圆周上任一点的坐标都对应着单元体上某一个(截面上的应力，这个圆称为应力圆。 图9-2 （四）三向应力状态 １．在三向应力状态分析中，通常仅需求出最大（最小）正应力和最大切应力。如欲求空间任意斜截面上的应力，则应用截面法求得。 ２．在三向应力状态中，如已知一个主应力值和另外两对非主平面上的正应力和切应力，应由两对非主平面上的正应力和切应力分别求出另外两个主应力，然后根据三个主应力的大小分别写出(1，(2和(3。 （五）广义虎克定律与体积变形 1． 广义虎克定律 广义虎克定律表示复杂应力状态下的应力应变关系，虎克定律(＝Ｅ(表示单向应力状态的应力应变关系。 工程实际中，常由实验测得构件某点处的应变，这时可用广义虎克定律求得该点的应力状态。 以主应力表示的广义虎克定律 式中(1，(2，(3为代数值，各主应变(1，(2，(3的代数值间相应地有(1＞(2＞(3。 如果单元体的各面上既有正应力又有切应力时，不计切应力对单元棱边的长度变化的影响，广义虎克定律为 2．体积变形 图9.3 图9-3所示单元体的单位体积变化（即体积变形）为 (＝(1＋(2＋(3 设平均主应力(m＝（(1＋(2＋(3），则体积改变虎克定律为 式中，称为体积弹性模量。 （六）平面应变分析 １．本章所指平面应变状态是平面应力所对应的应变状态，不同于弹性力学中的平面应变状态，研究的范围仅限于应变发生在同一平面内的平面应变状态