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交形式的生产可能集与逆 DEA 模型 摘 要 2 自从1978年美国著名运筹学家Charnes 等提出第一个 DEA 模型C R 模型 （参见文献[1]），无论在理论上还是应用方面，都引起了无数的研究者极大的兴 趣。数据包络分析是使用数学规划模型进行评价具有多个输入、特别是多个输 出的“部门”或“单位”（称为决策单元（decision making unit ）,简称 DMU） 间的相对有效性（称为 DEA 有效）。根据对各 DMU 观察的数据判断 DMU 是否 为 DEA 有效，本质上是判断 DMU 是否位于生产可能集的“生产前沿面”上 （参 见文献[25]）。DEA 模型和方法的经济背景和管理背景的研究，确立了 DEA 在 经济学和管理科学中的地位。但从某种意义上说，大多数研究都围绕对 DEA 模 型的扩展或者是应用于某一个实际的例子当中，为了适应于不断更新的具体情 况，先后产生了不同形式的 DEA 模型。 近几年来，关于逆最优化问题的研究已有很多，通常的优化问题是在参数 已知的条件下找出目标函数的最大值或最小值，而逆最优化问题则是应用最优 解来决定参数值，或者是对于给定参数条件下的非最优解，如何尽可能小的调 整参数，使得该非最优解变成最优解。 本文利用交形式的生产可能集研究了逆 DEA 模型。相比较而言，利用交形 式的生产可能集，可以很容易的用明显的公式计算决策单元的效率指数。而且 DEA 模型的交形式比和形式更具有几何直观性和计算便利性，交形式的几何直 观性很强，边界尤为清晰，更能清楚地刻画了投入与产出之间的对应关系。 本文的结构如下：本文的第一章介绍了 DEA 问题的发展史，引出其逆问题， 介绍了其逆问题的发展现状以及现有的结论。第二章引入生产可能集的交形式， 首先给出了生产可能集的公理体系及其各个模型的和形式，之后给出各个模型 的生产可能集相应的交形式。之所以引出生产可能集的交形式是因为仅由 DEA 生产可能集的交形式，就可以看出不同的生产可能集所满足的公理体系，交形 式更加直观。第三章借助第二章的生产可能集的交形式，把原来和形式的逆 DEA 模型改写成交形式，并且在产出无效和产出弱有效两种情况下，用交形式重新 1 交形式的生产可能集与逆 DEA 模型 证明了逆 DEA 模型的现有结论。可以看出，在交形式下的证明和计算相比和形 式更加直观简便，使得计算量大大下降。第四章重点讨论了新的模型 WY 模型 的逆问题，并给出了WY 模型逆问题的和形式和交形式，证明了 WY 模型逆问 题的一些结论。第五章给出不同模型下逆问题的三个例子，不同于以往和形式 的解法，用交形式解计算量大大减少，而且结果一目了然。 本文的创新之处是在处理逆 DEA 问题上使用了交形式的模型，首先将传统 的和形式的生产可能集转化为交形式的生产可能集，由此得到了相应的交形式 的逆 DEA 模型和对应的交形式的多目标规划的模型，使相关定理的证明及模型 的计算更加简单明了。并对由魏权龄和阎洪在讨论“拥挤”迹象时给出的生产 可能集T 对应的逆 DEA 模型进行了研究，给出了相应的定理。最后通过数例 WY 证明了交形式的逆 DEA 模型的应用。 总之，引入交形式使得逆 DEA 问题更具有几何直观性和计算便利性。 关键词：数据包络分析；逆 DEA；生产可能集；交形式；WY 模型 2 交形式的生产可能集与逆 DEA 模型 Abstract Since 1978 the American famous operation scientist Charnes proposed