【备考优化设计】中考数学总复习（北师大版）基础讲练 第10讲反比例函数.docVIP

第10　反比例函数 考纲要求 备考指津 1.理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式． 2．会画反比例函数图象，根据图象和解析式讨论其基本性质． 3．能用反比例函数解决某些实际问题. 　　反比例函数是中考命题热点之一，主要考查反比例函数的图象、性质及解析式的确定，考查形式以选择题、填空题为主，也经常与一次函数、二次函数及几何图形等知识综合考查． 考点一　反比例函数的概念 一般地，形如y＝或y＝kx－1(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数． 1．反比例函数y＝中的是一个分式，所以自变量x≠0，函数与x轴、y轴无交点． 2．反比例函数解析式可以写成xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k. 考点二　反比例函数的图象与性质 1．图象：反比例函数的图象是双曲线． 2．性质：(1)当k＞0时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别在二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．注意双曲线的两支和坐标轴无限靠近，但永远不能相交．(2)双曲线是轴对称图形，直线y＝x或y＝－x是它的对称轴；双曲线也是中心对称图形，对称中心是坐标原点． 考点三　反比例函数的应用 1．利用待定系数法确定反比例函数解析式 根据两变量之间的反比例关系，设出形如y＝的函数关系式，再由已知条件求出k的值，从而确定函数解析式． 2．反比例函数的实际应用 解决反比例函数应用问题时，首先要找出存在反比例关系的两个变量，然后建立反比例函数模型，进而利用反比例函数的有关知识加以解决． 1．下列四个点中，有三个点在同一反比例函数y＝的图象上，则不在这个函数图象上的点是(　　)． A．(5,1) B．(－1,5)C． D． 2．已知反比例函数y＝，下列结论不正确的是(　　)． A．图象经过点(1,1)B．图象在第一、三象限 C．当x＞1时，0＜y＜1D．当x＜0时，y随着x的增大而增大 3．如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y＝过点A，则k的值是(　　)． A．2　　　　B．－2C．4 D．－4 一、反比例函数的图象与性质 【例1】 已知点(－1，y1)，(2，y2)，(3，y3)在反比例函数y＝的图象上．下列结论中正确的是(　　)． A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y3＞y1 解析：∵－k2－1＜0，∴两个分支在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．当x＝－1时，y1＞0. ∵2＜3，∴y2＜y3＜0.∴y1＞y3＞y2. 答案：B 1．由于双曲线自变量的取值范围是x≠0的实数，故其性质强调在每个象限内y随x的变化而变化的情况． 2．在比较双曲线上两点的横坐标或纵坐标的大小关系时，若两点在同一个象限内，可以根据其增减性来加以判断；若两点不在同一个象限内，可以通过比较正、负来判断． 如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线y＝(x＞0)上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会(　　)． A．逐渐增大 B．不变C．逐渐减小 D．先增大后减小 二、反比例函数解析式的确定 【例2】 如图，直线y＝2x与反比例函数y＝的图象在第一象限的交点为A，AB垂直于x轴，垂足为B，已知OB＝1，求点A的坐标和这个反比例函数的解析式． 解：∵AB垂直x轴于点B，OB＝1，且点A在第一象限，∴点A的横坐标为1.又∵直线y＝2x的图象经过A， ∴y＝2x＝2×1＝2，即点A的坐标为(1,2)． ∵y＝的图象过点A(1,2)，∴2＝.∴k＝2. ∴这个反比例函数的解析式为y＝. 三、反比例函数与一次函数的综合运用 【例3】 如图所示，在直角坐标系中，点A是反比例函数y1＝的图象上一点，AB⊥x轴的正半轴于B点，C是OB的中点；一次函数y2＝ax＋b的图象经过A，C两点，并交y轴于点D(0，－2)，若S△AOD＝4. (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，请指出在y轴的右侧，当y1＞y2时，x的取值范围． 分析：点A是直线与双曲线的交点，求出点A的坐标是解决问题的关键．点A的坐标可由点D的坐标及△AOD的面积求得． 解：(1)作AE⊥y轴于E， ∵S△AOD＝4，OD＝2， ∴OD·AE＝4.∴AE＝4. ∵AB⊥OB，C为OB的中点， ∴∠DOC＝∠ABC＝90°，OC＝BC，∠OCD＝∠BCA． ∴Rt△DOC≌Rt△ABC． ∴AB＝OD＝2.∴A(4,2)． 将A(4,2)代入y1＝中，得k＝8，∴y1＝. 将A(4,2)和D(0，－2)代入y2＝ax＋b， 得解之，得∴y2＝x－2. (2)在y轴的右侧，当y1＞y2时，0＜x＜4. 1．