【备考优化设计】中考数学总复习（北师大版）基础讲练 第27讲图形的相似.docVIP

第27　图形的相似 考纲要求 备考指津 1.了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题． 2.了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用． 3.了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质. 　　相似多边形的性质是中考考查的热点，其中以相似多边形的相似比、面积比、周长比的关系考查较多．相似三角形的判定、性质及应用是考查的重点，常与方程、圆、四边形、三角函数等相结合，进行有关计算或证明． 考点一　比例线段 1．比例线段的定义： 在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 2．比例线段的性质： (1)基本性质：＝ad＝bc； (2)合比性质：＝＝； (3)等比性质： 若＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝. 3．黄金分割： 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，则线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比． 考点二　相似多边形 1．定义： 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比，相似比为1的两个多边形全等． 2．性质： (1)相似多边形的对应角相等，对应边成比例； (2)相似多边形周长的比等于相似比； (3)相似多边形面积的比等于相似比的平方． 考点三　相似三角形 1．定义： 各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形． 2．判定： (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似； (2)两角对应相等，两三角形相似； (3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； (4)三边对应成比例，两三角形相似； (5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． 3．性质： (1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例； (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比； (3)相似三角形周长的比等于相似比； (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方 考点四　图形的位似 1．定义： 如果两个图形仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形叫位似图形．这个点叫做位似中心，这时的相似比称为位似比． 2．性质： 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比． 3．画位似图形的步骤 (1)确定位似中心点； (2)连接图形各顶点与位似中心的线段(或延长线)； (3)按位似比进行取点； (4)顺次连接各点，所得的图形就是所求图形． 1．若＝，则＝(　　)． A． B． C． D． 2．如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是(　　)． A．87°　　　　　　B．60° C．75° D．120° 3．如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD＝∠ABC，若AC＝2，AD＝1，则DB＝__________. 4．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是__________． 5．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F. (1)求证：△ACB∽△DCE；(2)求证：EF⊥AB． 规律-方法探究 一、相似图形的性质 【例1】 如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是(　　)． A．2 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2 解析：根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，得＝()2，＝，S阴影＝8(cm2)． 答案：C 二、相似三角形的性质与判定 【例2】 如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE. (1)写出图中两对相似三角形(不得添加字母和线)； (2)请分别说明两对三角形相似的理由． 解：(1)△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE. (2)①证明△ABC∽△ADE.∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC．即∠BAC＝∠DAE.又∵∠ABC＝∠ADE.∴△ABC∽△ADE. ②证明△ABD∽△ACE. ∵△ABC∽△ADE，∴＝ 又∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE. 判断两三角形相似时，首先看是否存在两对对应角相等；若只有一对对应角相等，再看夹这个角的两边是否成比例；若无内角相等，就考虑三组对应边是否成比例． 如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E. (1)求证：△ABD∽△CED．