【备考优化设计】中考数学总复习（北师大版）基础讲练 第28讲解直角三角形.docVIP

第28　解直角三角形 考纲要求 备考指津 1.理解锐角三角函数的定义，会运用锐角三角函数解直角三角形． 2.掌握特殊锐角(30°，45°，60°)的三角函数值，并会进行计算． 3.了解直角三角形的定义，掌握边角之间的关系，并能进行有关计算． 4.利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题. 　　中考中主要以锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值及解直角三角形．试题难度不大，其中运用解直角三角形的知识解决与现实生活相关的应用题是热点． 考点一　锐角三角函数定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，C． sin A==； cos A＝＝； tan A＝＝. 考点二　特殊角的三角函数值 考点三　解直角三角形 1．直角三角形的边角关系： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，C． (1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2； (2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°； (3)边角之间的关系：sin A＝，cos A＝，tan A＝，sin B＝，cos B＝，tan B＝. 2．解直角三角形的几种类型及解法： (1)已知一条直角边和一个锐角(如a，∠A)，其解法为：∠B＝90°－∠A，c＝，b＝(或b＝)； (2)已知斜边和一个锐角(如c，∠A)，其解法为：∠B＝90°－∠A，a＝c·sin A，b＝c·cos A(或b＝)； (3)已知两直角边a，b，其解法为：c＝， 由tan A＝，得∠A，∠B＝90°－∠A； (4)已知斜边和一直角边(如c，a)，其解法为：b＝，由sin A＝，求出∠A，∠B＝90°－∠A． 考点四　解直角三角形的应用 1．仰角与俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角． 2．坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越陡． 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是(　　)． A．sin A＝B．tan A＝C．cos B＝D．tan B＝ 2．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为(　　)． A．　　　　　　　B．C． D． 3．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cos B＝，则AC＝__________. 4．首届中国国际航空体育节在莱芜雪野举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演．如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？(结果精确到0.1米) (参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，≈1.73) 一、锐角三角函数的定义 【例1】 在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B＝__________. A． B． C． D． 解析：∵sin A＝，∴＝，于是设BC＝4a，AB＝5A．在Rt△ABC中，由勾股定理，可得AC＝3A． ∴tan B＝＝＝.故选B． 答案：B 二、特殊角的三角函数值 【例2】 计算：|－2|＋2sin 30°－(－)2＋(tan 45°)－1. 解：原式＝2＋2×－3＋1－1＝1. 三、解直角三角形 【例3】 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE＝6，cos A＝. 求(1)DE，CD的长；(2)tan∠DBC的值． 解：(1)∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°.在Rt△AED中，cos A＝，即＝. ∴AD＝10.根据勾股定理得DE＝＝＝8.又∵DE⊥AB，DC⊥BC，BD平分∠ABC， ∴DC＝DE＝8. (2)∵AC＝AD＋DC＝10＋8＝18，在Rt△ABC中，cos A＝，即＝，∴AB＝30.根据勾股定理得BC＝＝＝24. ∴在Rt△BCD中，tan∠DBC＝＝＝. 四、解直角三角形在实际中的应用 【例4】 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB．小刚在D处用高1.5 m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40 m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°.求这幢教学楼的高度AB． 解：在Rt△AFG中，tan∠AFG＝， ∴FG＝＝. 在Rt△ACG中，tan∠ACG＝， ∴CG＝＝AG. 又CG－FG＝40，即AG－＝40， ∴AG＝20.∴AB＝20＋1.5(米)． 答：这幢教学楼的高度AB为(20＋1.5)米． 为建设“宜居宜业宜游”山水园林式城市，内江市正在对城区沱