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第三章 直线与方程 本章学习导航 课程标准对本章内容的基本要求： 在平面解析几何初步的学习中，经历如下过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．． 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． ． ． ． ． ．． ．．轴正方向的倾斜程度的，倾斜角的范围为，这样可以使平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角．．．时，斜率不存在，此时，倾斜角为，直线与轴垂直．，的斜率，都存在时，∥ ； ．的二元一次方程；反过来，任何关于的二元一次方程都表示一条直线．．．．．．．．． ． 1.学习重点：斜率的概念，用代数方法刻画直线斜率的过程，过两点的直线斜率的计算公式. 2.学习难点：直线的斜率和它的倾斜角之间的关系. 2.预习探究新知 （1）课前自主学习： 1. 直线的倾斜角： 定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴______与直线______方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为______. 倾斜角的范围为________. 2. 直线的斜率： 定义：一条直线的倾斜角的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即________. 倾斜角是_____的直线，斜率不存在. 3. 过两点的直线的斜率公式： 经过两点的直线的斜率公式为________. （2）诱思探究交流： 1.在平面直角坐标系中，要确定经过点的直线的位置需要一个描述‘倾斜程度’的量，你认为可以用什么来表示？ 2.和“坡度”相比，你认为还可以用什么表示过点的直线的倾斜程度？ 3.所有直线都有倾斜角和斜率吗？ 4.直线倾斜角越大，那么直线的斜率越大吗？ 5. 两点可确定一条直线，那么如何确定经过两点 ，其中的直线的斜率？ 6.斜率公式的应用与两点的顺序有关系吗？ 7.当直线与轴平行或重合时，过两点的斜率公式还成立吗？与轴平行或重合呢？ （3）新知简单应用： 1．已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为________. 2．若直线的倾斜角为，则（ ）. A. B. C. D.不存在 3．经过两点的直线的斜率为________. 3.典型例题分析： 类型一：直线的倾斜角及斜率定义的理解 例1．已知直线的倾斜角，直线与的夹角为，求直线，的斜率. 【审题指南】：直线的斜率是利用倾斜角来定义的，只要求出直线的倾斜角即可求出直线的斜率. 【规范解答】： 解：设直线的倾斜角为，则，或. 所以的斜率， 的斜率，或. 【点石成金】：利用求斜率时关键是如何利用几何特征或代数特征求出倾斜角的大小，再结合公式求斜率，同时熟记一些特殊角的三角函数值. 【拓展变式】 1．已知直线的斜率为 ，直线的倾斜角是的倾斜角的倍，则直线的斜率为（ ）. A．　　 B． C． D． 类型二：过两点的斜率公式的理解 例2．求经过两点，的直线的斜率. 【审题指南】：两点间斜率可套用公式，但应注意分母不为，由于点的坐标含有参数，故需要分类讨论. 【规范解答】： 解：当时，直线垂直于轴，此时，直线的斜率不存在. 当时，直线的斜率. 【点石成金】：用过两点的斜率公式求斜率，要考虑斜率是否存在. 【拓展变式】 2．已知是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角. （1）,； （2）,； （3）,. 类型三：斜率大小与倾斜角的关系 例3. 若过原点的直线与连结P(2,2)，Q(6,2)的线段有公共点，求直线的倾斜角和斜率的取值范围． 【审题指南】：用数形结合的方法，只需判断直线的斜率与，的斜率之间的关系即可. 【规范解答】： 解：，，如图， 当直线绕点逆时针旋转到的过程中，直线的斜率始终为正，且逐渐增大，故直线的斜率的最小值为，直线的斜率的最大值为 所以，直线的斜率的取值范围为，倾斜角的取值范围为． 【点石成金】：数形结合的思想，实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，使代数问题几何化，几何问题代数化．另外，直线斜率绝对值越大，直线越“陡”，这一规律在判断直线的倾斜程度上应用较广． 【拓展变式】 3．过点的直线的与线段相交，若，，求直线的斜率的取值范围． 4.分级优化训练： A组 基础达标 1．在△中，，，，则，顺次为（ ）. A．， B．， C．， D．， 2．经过两点,的直线的倾斜角为，则的值等于（ ）. A. B. C. D. 3．已知点，点在轴上，若直线的倾斜角为，则点的坐