北京四中高中数学 平面向量的线性运算提高知识讲解 新人教A版必修1.docVIP

平面向量的线性运算 【学习目标】 1.能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量. 2．能结合图形进行向量的计算． 3．能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算． 4．理解实数与向量的积的意义，会利用实数与向量的积的运算律进行计算． 5．掌握向量共线的条件． 【要点梳理】 要点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1.向量加法的概念及三角形法则 已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图 本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则． 2．向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任一向量，我们规定． 要点诠释： 两向量的和仍是一个向量个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． 特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有 2．向量加法的运算律 （1）交换律：； （2）结合律： 要点三：向量的三角形不等式 由向量的三角形法则，可以得到 (1)当不共线时，； (2)当同向且共线时，同向，则； (3) 当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，． 要点四：向量的减法 1．向量的减法 （1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的． 相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量． （2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法． 要点诠释： （1）两种方法给出的定义其实质是一样的． （2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则． （3）两个向量的差仍是一个向量． 2．向量减法的作图方法 （1）已知向量，，作，则=,即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量． （2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量． 要点五：数乘向量 1.向量数乘的定义 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： (1)； (2)①当时，的方向与的方向相同； ②当时.的方向与的方向相反； ③当时，. 的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法． 3.向量数乘的运算律 设为实数 结合律：； 分配律：， 要点六：向量共线的条件 1．向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2．向量共线的判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3．向量共线的性质定理 若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 要点诠释： （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况； （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使； （3）有且只有一个实数，使． （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一. 【典型例题】 类型一：向量的加法运算 例1．如图所示，已知三个向量、、，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量++． 【解析】 利用三角形法则作++，如图1所示，作，以A为起点，作，再以B为起点，作，则． 利用平行四边形法则作++，如图2所示，作，，，以、为邻边作平行四边形OADB，则，再以、为邻边作平行四边形ODEC，则． 【总结升华】题中，要求作三个向量的和，首先求作两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后求这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则． 举一反三： 【变式1】已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：． 【证明】如图所示，在四边形CDEF中，， 所以． 在四边形ABFE中，，所以． 所以． 因为E、F分别是AD、BC的中点，所以，．所以． 【总结升华】本题主要应用了封闭图形