北京四中高中数学 平面向量应用举例基础知识讲解 新人教A版必修1.docVIP

平面向量应用举例 【学习目标】 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 3．体会用向量方法解决实际问题的过程，知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力． 【要点梳理】 要点一：向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或x1y2－x2y1=0）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或x1x2+y1y2=0）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 要点诠释： 用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了． 要点二：向量在解析几何中的应用 在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决． 常见解析几何问题及应对方法： （1）斜率相等问题：常用向量平行的性质． （2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程． （3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件． （4）夹角问题：利用公式． 要点三：向量在物理中的应用 （1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象． （2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积． （3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论． 【典型例题】 类型一：向量在平面几何中的应用 例1．用向量法证明：直径所对的圆周角是直角． 已知：如下图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点（不与A、B重合），求证：∠APB＝90°． 证明：联结OP，设向量，则且， ，即∠APB＝90°． 【总结升华】解决垂直问题，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的数量积为零，而在此过程中，则需运用向量运算，将目标向量用基底表示，通过基底的数量积运算式使问题获解，如本题便是将向量，由基底，线性表示．当然基底的选取应以方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知． 举一反三： 【高清课堂：平面向量的应用举例395486 例1】 【变式1】P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（ ） A．外心　 B．内心　 C．重心　 D．垂心D 【高清课堂：平面向量的应用举例395486 例4】 【变式2】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________；的最大值为________. ==1 = = = （F是E点在上的投影） 当F与C点重合时，上式取到等号． 例2．如图所示，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上一点，PFCE是矩形，证明：. 【思路点拨】如果我们能用坐标表示与，则要证明结论，只要用两向量垂直的充要条件进行验证即可.因此只要建立适当的坐标系，得到点A、B、E、F的坐标后，就可进行论证. 【解析】以点D为坐标原点，DC所在直线为轴建立如图所示坐标系，设正方形的边长为1， ，则，，，， 于是，， ∵ ∴. 举一反三： 【变式1】在平面直角坐标系xOy中，已知点A（―1，―2），B（2，3），C（―2，―1）． （1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； （2）设实数t满足，求t的值． 【答案】（1），（2） 【解析】 （1）由题设知，，则，． 所以，． 故所求的两条对角线长分别为，． （2）由题设知，． 由，得(3+2t，5+t)·(―2，―1)=0， 从而5t=―11，所以． 类型二：向量在解析几何中的应用 例3．