北京四中高中数学 平面向量应用举例提高知识讲解 新人教A版必修1.docVIP

平面向量应用举例 【学习目标】 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 3．体会用向量方法解决实际问题的过程，知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力。 【要点梳理】 要点一：向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义。 （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或x1y2－x2y1=0）。 （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或x1x2+y1y2=0）。 （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式。 （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题。 要点诠释： 用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了。 要点二：向量在解析几何中的应用 在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决。 常见解析几何问题及应对方法： （1）斜率相等问题：常用向量平行的性质。 （2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程。 （3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件。 （4）夹角问题：利用公式。 要点三：向量在物理中的应用 （1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象。 （2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积。 （3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论。 【典型例题】 类型一：向量在平面几何中的应用 例1．如下图，正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且AE、CD交于点P。求证：BP⊥CD。 【思路点拨】将向量和用基底表示，然后把证明线段垂直问题，转化成的问题。 【解析】设，正三角形ABC的边长为a， 则。 又，，∴。 ∴。 于是有，解得。 ∴，， ∴， ， 从而，即， 故BP⊥CD。 【总结升华】解决垂直问题，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的内积为零，而在此过程中，则需运用向量运算，将目标向量用基底表示，通过基底的内积运算式使问题获解，如本题便是将向量，由基底，线性表示。当然基底的选取应以方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知。 举一反三： 【高清课堂：平面向量的应用举例395486 例3】 【变式1】平面内△ABC及一点O满足，，则点O是△ABC的（ ） A．重心 B．垂心 C．内 D．外心 D 【高清课堂：平面向量的应用举例395486 例4】 【变式2】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________；的最大值为________.==1 = = = （F是E点在上的投影） 当F与C点重合时，上式取到等号。 例2．四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F。 求证：AF=AE。 【思路点拨】建立直角坐标系，写出向量和，证明=。 【证明】如下图，以点C为坐标原点，以DC边所在直线为x轴，建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（－1，1），B（0，1），若设E（x，y）（x＞0），则，。 因为BE∥AC，即，所以x+y―1=0。 又因为AC=CE，所以x2+y2―2=0。 由，得，即。 又设F（x＇，1），由和共线， 得，解得， 所以。 所以，。 所以。 所以AF=AE。 【总结升华】通过建立坐标系，将几何问题代数化，根据向量的相关运算，使问题得以解决。 举一反三： 类型二：向量在解析几何中的应用 例3．已知平面上一定点C(2,0)和直线l：