黑龙江省佳木斯市桦南县高中数学 2.1.2 空间直线与直线之间的位置关系导学案 新人教A版必修2.docVIP

§2.1.2空间直线与直线之间的位置关系 学习目标 1. 正确理解异面直线的定义； 2. 会判断空间两条直线的位置关系； 3. 掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用； 4. 会求异面直线所成角的大小. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P44~ P47，找出疑惑之处） 复习1：平面的特点是______、 _______ 、_______. 复习2：平面性质(三公理) 公理1___________________________________； 公理2___________________________________； 公理3___________________________________. 二、新课导学 ※ 探索新知 探究1：异面直线及直线间的位置关系 问题：平面内两条直线要么平行要么相交（重合不考虑）,空间两条直线呢? 观察：如图在长方体中，直线与的位置关系如何？ 结论：直线与既不相交，也不平行. 新知1：像直线与这样不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(skew lines). 试试：请在上图的长方体中，再找出3对异面直线. 问题：作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？ 新知2：异面直线的画法有如下几种(异面)： 试试：请你归纳出空间直线的位置关系. 探究2：平行公理及空间等角定理 问题：平面内若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行，空间是否有类似规律? 观察：如图2-1,在长方体中，直线∥，∥，那么直线与平行吗? 图2-1 新知3: 公理4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行. 问题：平面上,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补，空间是否有类似结论? 观察：在图2-1中,与,与的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何? 新知4: 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 探究3：异面直线所成的角 问题：平面内两条直线的夹角是如何定义的?想一想异面直线所成的角该怎么定义? 图2-2 新知5: 如图2-2,已知两条异面直线，经过空间任一点作直线 ∥,∥，把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 反思：思考下列问题. ⑴ 作异面直线夹角时，夹角的大小与点的位置有关吗?点的位置怎样取才比较简便? ⑵ 异面直线所成的角的范围是多少? ⑶ 两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗? ⑷ 异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的?它体现了什么样的数学思想? ※ 典型例题 例1 如图2-3,分别为空间四边形各边的中点，若对角线 ，则的值为多少?(性质：平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和). 图2-3 例2 如图2-4，在正方体中，求下列异面直线所成的角.⑴和 ⑵和 图2-4 ※ 动手试试 练 正方体的棱长为，求异面直线与所成的角. 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 异面直线的定义、夹角的定义及求法； 2. 空间直线的位置关系； 3. 平行公理及空间等角定理. ※ 知识拓展 异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线. 如图，，则直线与直线是异面直线. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 为三条直线，如果，则的位置关系必定是（ ）. A.相交 B.平行 C.异面 D.以上答案都不对 2. 已知是异面直线，直线平行于直线，那么与（ ）. A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 3. 已知,，且是异面直线，那么直线（ ）. A.至多与中的一条相交 B.至少与中的一条相交 C.与都相交 D.至少与中的一条平行 4. 正方体的十二条棱中，与直线是异面直线关系的有___________条. 5. 长方体中,, =1，异面直线与所成角的余弦值是______. 课后作业 1. 已知是正方体棱，的中点，求证：. 2. 如图2-5，在三棱锥中，，、 分别是和上的点，且，设与、所成的角分别为， 求证：°. 图2-5 4