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（3） P x y O 无限大半平面体在边界法线方向受集中力作用 x y O M 2. 楔顶受有集中力偶 M 作用 （1）应力函数的确定 由应力函数与应力分量间的微分关系， 可推断： 将其代入相容方程： （c） * 例1 如图所示，试写出其边界条件。 x y a h h q (1) (2) (3) (4) 说明： x = 0 的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果： 例2 如图所示，试写出其边界条件。 (1) A B C x y h p(x) p0 l AB段（y = 0）： 代入边界条件公式，有 (2) BC段（x = l）： (3) AC段（y =x tan β）: N 例3 图示水坝，试写出其边界条件。 左侧面： 由应力边界条件公式，有 右侧面： 例4 图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。 解： —— 平面应力问题，在 AC、AB 边界上无面力作用。即 AB 边界： 由应力边界条件公式，有 （1） AC 边界： 代入应力边界条件公式，有 （2） ∵A 点同处于 AB 和 AC 的边界，∴满足式（1）和（2），解得 ∴ A 点处无应力作用 例5 图示楔形体，试写出其边界条件。 图示构件，试写出其边界条件。 例6 例5 图示楔形体，试写出其边界条件。 上侧： 下侧： 图示构件，试写出其应力边界条件。 例6 上侧： 下侧： N 例7 图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。 左侧面： 代入应力边界条件公式 右侧面： 代入应力边界条件公式，有 上端面： 为次要边界，可由圣维南原理求解。 y方向力等效： 对O点的力矩等效： x方向力等效： 注意： 必须按正向假设！ x y 上端面： （方法2） 取图示微元体， 可见，与前面结果相同。 注意： 必须按正向假设！ 由微元体的平衡求得， 例： 试写出图示三角形悬臂梁的边界条件。 上边界： 下边界： N 代入边界条件公式，有 右边界： 由圣维南原理，有 例： 悬臂梁，厚度为单位1，τ=常数。求：应力函数 及梁内应力。 x y O b l 解： (1) 应力函数的确定 x Q M 取任意截面，其内力如图： 取 作为分析对象，可假设： （a） —— f(y)为待定函数 由 与应力函数 的关系，有： （b） 对 x 积分一次，有： 对 y 再积分一次，有： 其中： （c） x y O b l x Q M （c） 由 确定待定函数： （d） 要使上式对任意的x，y成立，有 （e） （f） 由式（ e）求得 （g） 由式（ f）得 （h） （i） 积分式（ h）和（i）得 （j） （k） x y O b l x Q M ( l ) 包含9个待定常数，由边界条件确定。 (2) 应力分量的确定 ( m ) (3) 利用边界条件确定常数 x y O b l x Q M (3) 利用边界条件确定常数 ( o ) 代入可确定常数为： 代入式（m）得 x y O b l x Q M 注： 也可利用 M（x）= 0，考虑 进行分析。此时有： 为待定函数，由相容方程确定。 l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q 剪力： 可假设剪应力： 例： 图示矩形板，长为 l ，高为 h ，体力不计，试证以下函数是应力函数，并指出能解决什么问题。式中k、q为常数。 x y O l h 解： (1) 应力分量： 边界条件： 显然，上下边界无面力作用。 上下边界 (2) x y O l h 左边界 k 右边界 k kl 结论：可解决悬臂梁左端受集中力问题。 例： 图示矩形截面简支梁，长为 l ，高为 h ，受有三角形分布载荷作用，体力不计。试求其应力分布。 解： （1）应力函数形式的确定 梁截面上弯矩和剪力为： 由材料力学方法可确定应力分量的分离变量形式： 取应力分量 分析， 取应力分量 与应力函数的关系： 对此式积分： 对此式积分： ——为待定函数 （2）由相容方程确定待定函数 代入 要使上述方程对任意的 x 成立，有 (a) (b) (c) 积分式（a），得 将上式代入（b）积分，得 积分式（c），得 (d) (e) (f) 将求得的 代入应力函数，有 （3）计算应力分量 (g) (h) （3）利用边界条件确定待定常数 上边界： (i) (j) (k) 下边界： (l) (m) (n) 左边界： 左边界： (o) (p) (q) (r) (s) (t) 联立求解式（i）~（t）,可得具体的应力分量。 注：位移边界条件转化为应力边界条件。 §4-10 楔形体的楔顶与楔面受力 x y O M P