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2002 年 3 月 纯粹数学与应用数学 M ar 2002
第 18 卷第 1 期 Pure and A pp lied M athem atics V o l18 N o1
关于 n 进制及其有关计数函数
1, 2 2
李海龙 , 杨倩丽
( 1 西北大学数学系, 西安 710069; 2 渭南师范学院数学系, 渭南 714000)
摘 要: 给出了 进制中数字之和函数均值 ( ) 的一个精确的计算公式.
n A N
关 键 词: n 进制; 计数函数; 均值
中图分类号: O 1564 文献标识码: A 文章编号:(2002)
1 引言及结论
1993 年, 美国数论专家 . 在他所著的《 ,
F Sm aranelache ONL Y PROBL EM S NO T SOLU
T ION S ! 》一书中提出了初等数论及集合论中 105 个未解决的问题, 其中第 21 个问题是“研究
十进制中数字之和数列的性质”. 本文作为这一问题的一般化, 讨论了 n 进制中数字之和这一
计数函数均值的计算问题, 给出了一个精确的计算公式. 为叙述方便, 我们先引入如下定义:
设 n ≥2 为一给定的正整数, 对任一正整数m , 假定m 在 n 进制中表示式为
k k k
m = a n 1 + a n 2 + …+ a n s
1 2 s
其中 1 ≤a i ≤n - 1; i = 1, 2, …, s, k 1 k 2 … k s ≥0
( ) ( ) k ( )
记 a m , n = a + a + …+ a . 并令A N , n = a m , n .
1 2 s k ∑
m N
在这一记号下, 我们有下列定理
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