丽水电大高等数学 电子教案 2.1.ppt

(四). x→x0 时函数?(x)的极限 当x从大于1和小于1的方向趋于1即当 x→ 1时,函数?(x)无限接近于1. ? ? ? o x y 1 1 y = x (1,1) 首先,考察 函数 y =?(x) = x (如右图) 1、直观描述：设函数 在 的附近有定义，如果当 无限接近于 但不等于 时， 无限接近于一个确定的常数 ，则称 当 时函数 以 为极限. 记作 2、分析定义： 无限接近于一个确定的常数 ,与前面的 无限接近于 时”，即当 与 的距离很小 当有一个很小的正数δ， 时. 又 不等于 ，即 亦即当有一个正数δ, 时. 2). “当 1). 意义一样. 很小时,亦即当 很小很小时，换句话说， 3.精确定义(“ε—δ”) 函数?(x)在x0 的某邻域内(可去心)有定义. 恒有| ?(x) – A | ε成立. 则称函数?(x)当 x→x0 时以A为极限.记为 几何意义 即在该去心邻域内对应的函数曲线一步y=f(x)介于这两条直线之间, 如下图. o ° o x y A+ε A A–ε y=?(x) 可作两条直线 y = A–ε及 y=A+ε. 则在x轴上总存在以 x０为心, δ为半径的去心 邻域 中所讨论的x→x0 即x可从 x0 的左右 如 4. 函数?(x)的左、右极限 (1).左极限的直观描述及精确定义(“ε—δ”) 当x 从 x0 左侧(小于)趋于x0 时 , ?(x)以A为极限. 则 A是?(x)在 x0处的左极限. 记为 “ε—δ”定义 则只能考察 x 从 0 的右侧趋于 0 时的极限. 因而必须引进左、右极限的概念. 两侧趋于x0 . 但有时可考察 x 仅从x0 的左侧或右侧趋近时函数(特别是分段函数在分段点处)的极限. 或 当 时， 恒成立. (2).右极限的直观描述及精确定义(“ε—δ”) 当x从 x0 右侧(大于)趋于x0 时 , ?(x)以A为极限. 则 A是?(x)在 x0 处的右极限. 记为 “ε—δ”定义 (3).左极限和右极限统称为单侧极限.它们之间有如下关系: 定理2.1 函数y = ?(x)当 x→x0 时极限存在且为A的充要条件是函数y = ?(x)的左极限和右极限都存在且等于A. 即 或 当 时， 恒成立. (4).举例 例4 已知 求 解：1、 2、 即 所以 不存在 3 、 例5 研究 时， .的极限 时， 的极限为零。 解: 所以，当 * * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 第二章 极限与连续 1.定义2.1: 按一定顺序排列的一列数 a1,a2,…,an, …叫做一个数列, 数列中的每一个数叫数列的项, 第 n项 an 叫数列的一般项或通项.简记为{ an }.数列也可称作整标函数. 因为数列 an= f (n) 可看成是定义在正整数集合上的函数. 当自变量 n 按正整数 1,2,3,… 依次增大的顺序取值时, 函数值按相应的顺序排列成一串数: 称为一个无穷数列, 简称数列. 例 (一).数列的有关知识 一. 数列的极限 第一讲 极限的概念 从以上几例可以看出, 随着 n 逐渐增大时, 数列 有着各自的变化趋势. 当 n 无限增大时 , 数列(1)、(5) “无限接近”数 0; 数列(2)、(6)、(7) “无限接近” 数1; 数列(3) “无限增大”; 数列(4) 在数 0和 1间摆 动.在几何上, { an }表示数轴上一列点,也可以把(n ,an ) 看成平面上的点. ? ? ? ? ? ? ? o ? 1 数列 o n 1 ? ? ? ? ? n o ? ? 1 –1 ? ? ? ? ? 数 列 o n 1 1 ? 2 ? ? ? ? ? ?