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第四讲 隐函数的导数 对数求导法 高阶导数 由参数方程所确定的函数的导数 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 由第一章知: 显函数 y = ?(x), 也可写成 F(x, y) = y –?(x) = 0. 由方程 F(x, y) = 0 确定的隐函数可能有两种情形: y 是x 的函数 y = ?(x) 或 x 是 y 的函数 x = φ(y); 但并非所有隐函数都可化为一个显函数. 如 因而有必要研究隐函数的求导方法, 下面通过几个例子来介绍. 一. 隐函数的导数 例1.设方程 x2+y2=R2 确定函数 y = y(x), 求 解 方程两端逐项对 x 求导(y 是 x 的函数)得 例2 求下列隐函数的导数 1、y=xlny 2、 3、 4、 解：1、两边同时对x求导： 2、两边同时对x求导： 3、两边同时对x求导： 4、两边同时对x求导： 例3 求曲线 y+x-exy=0 在点(0? 1)处的切线方程. 解 方程两端逐项对 x 求导(y 是 x 的函数)得 二.下面介绍一个重要的求导方法——取对数求导法. 例4 求下列函数的导数 2、 3、 4、 1 、 解：1、两边取对数： 两边对x求导: 2、两边取对数： 3、两边取对数： 4、两边取对数： 上述利用对数性质及隐函数求导法则来简化导数计算的方法, 称为对数求导法. 这种方法适用于幂指函数和一些连乘连除式子的求导. 三.由参数方程所确定的函数的导数 1、若参数方程 确定y是x的函数， 有连续反函数 ， 存在，且 则，y与x构成复合函数 利用反函数和复合函数的求导法则，有 则称此函数关系为由参数方程所确定的函数. 2、设 3、举例 例5 已知 解： 例6 已知椭圆的参数方程为 ，求椭圆在 相应的点处的切线方程. 解：当 时，椭圆上的相应点M的坐标是： ， 曲线在点M的切线斜率为： 代入点斜式方程，即得椭圆在点M处的切线方程： 化简后得 函数 y =?(x) 的导数 f′(x) 仍 是x 的函数. 若f′(x) 在点 x 处仍可导,则称 f′(x) 在 x 处的导数为函数 y =?(x) 在 x 处的二阶导数 .记为 三阶导数的导数称为四阶导数.记为 四. 高阶导数 同理二阶导数的导数称为三阶导数. 记为 定义. 一般地,定义函数y =?(x)的n阶导数为其n–1 阶导数的导数,即 注2：求高阶导数就是逐阶求导数. 注1: 二阶和二阶以上的导数为高阶导数.为了方便,记 例7 求下列函数的二阶导数 2、 解：1、 2、 1、 例8求 的各阶导数 ……. 解： 例9 求y=sinx的n阶导数 解： ……..