丽水电大高等数学 电子教案 3.5.pptVIP

* 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 * 大学数学教研室　* 返回 后页 下页 上页 首页 讨论导数, 即讨论 的极限是否存在, 而不是研究改变量本身. 实践中,我们关心的是: 当自变量 x 有微小改变量Δx 时,函数 y 相应的改变量 Δy 与 Δx 有何关系, 大小又如何？ 第五讲 函数的微分 先看一个实际例子: 正方形的边长由 x 变到 x+Δx 时, 其面积改变多少？由 S = x2 知: x xΔx } Δx 显然ΔS分成两部分: 2xΔx和(Δx)2. 而 2xΔx 是Δx 的线性函数, (Δx)2 是当 Δx→0 时比 Δx 高阶的无穷小, 即 (Δx)2 = o(Δx). 由此可见: 当 Δx→0 时, (Δx)2 比 2xΔx 小得多,几乎可忽略不计; 从而用 2xΔx 近似代替ΔS.几乎可忽略不计; 从而用 2xΔx 近似代替ΔS.并且把2xΔx 叫做正方形面积 S = x2 的微分. xΔx 其中 A 是不依赖于Δx 的常数. 则称 ?(x) 在点 x 处可微;称Δy的线性(当 A ≠ 0 时称为线性主要)部分 AΔx 为函数 y = ?(x) 在点x处的微分. 记为 定理. 函数 y = ?(x)在点 x 处可微的充要条件是 y = ?(x)在点 x 处可导, 且 A = f′(x), 从而有 dy = f′(x)Δx 定义3.3.设函数 y =?(x) 在 x 的某邻域内有定义, 且当自变量有增量 Δx 时, 如果函数的增量 Δy 可表为 Δy = AΔx + o(Δx) d y = d? = AΔx 问题 : y = ?(x)在什么条件下才可微呢？A与?(x)有何关系呢？ 一.微分的概念 结论1 函数的可微性与可导性等价. 即可微必可导, 可导必可微. 结论2 若 y =?(x) = x,则 结论3 求函数的微分,可先求出函数的导数,再乘以dx便可得函数的微分.求导数与求微分的方法都叫做微分法. 从而 y =?(x) 的微分又可记为 例1. 求函数 y = 3arctan x (1) 在 x 处的微分; (2) Δ x = 0.01时的微分; (3) 当 x 由 2 变到 2.01 时的微分. 解 例2.求函数 的微分. 解 } 曲线y = ?(x) 在点 M 的横坐标 x 有一个 改变量Δx时, MN = dx, PN = Δy, o x y y =?(x) } K (x,y)M (x+Δx , y+Δy) P x x+Δx dy N Δy { ?α ?α 二.微分的几何意义 当|Δx|很小时, |Δy – dy |=PK 比|Δx|小得多. 故当|Δx|→0时, 可“以直代曲”——总可以用切线段 MK 去代替曲线弧 MP, 用NK = dy 去近似代替NP =Δy. NK = MN tan α 则相应的微分 dy 就是曲线过点 M 的切线的纵坐标的相应增量. 需要强调的一点是: 根据函数增量与微分的关系可用微分来作近似计算. 即 注 由导数与微分的关系知, 有一个导数公式就有一个相应的微分公式. 三.基本初等函数的微分公式和求微分法则 见P134-135 例3 求下列函数的微分dy （1）、 （2）、 y=sin(2x+3) 　 （4）、 （3）、 解：（1） （2） （3） （4）两边同时求微分： 例4. 求 . 例5求下列各式的近似值 （1）、 （2）、 （3）、 （4）、arctan1.02 解：（1）令 由 有 （2） 令 由 有 （3）把 化为弧度，得 令 由 有