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《数理天地》初 中版 数学竞赛 2013年第 1期 · 数学竞赛 · 用整数分类法解题四例 姜照华 (山东省枣庄市第二十九中学 277000) 一 般地，可 以把全体整数分为 7／类 ：除以 例 3 正整数 小于 1O0，并且 满足等式 余 0的， [号]+[号]+[詈]一，其中z表示不超过z 除以n余 1的，…， 除以 ”余 一 1的． 的最大整数．这样的正整数 n有 多少个? 有些关于整数 的竞赛题 ，如果不方便整体 (2000g-全 国初 中数学联赛) 上直接求解 ，那么可尝试把全体整数分为若干 解 分别对 ===6k、6k+1、6k+2、6k+3、 类 ，分别进行求解．下面通过 四例说明． 6是+4、6忌+sc为整数计算[号]+[号]+[詈] 例 1 设 与5。一2同为质数．求P的值． (2012年全 国初 中数学竞赛天津赛 区初赛) 的值 ： 解 设 是是非负整数． ①若 P一3k，由P为质数可知k只能为 1， ①当n=6k,6k~1LI寸，[号]+[号]十[詈] 此时p一 3，5p。一2—43，同为质数 ； 一 3k+ 2k+ 尼===6k； ② 若 一 3k+ 1，则 k 0，5p 2— 5(3k+1) 2—3(15足+lOk+1)，不是质数； ②当n=6k~2时，[号]+[号]+[詈]一 ③ 若 P一3k+2，则 5p一2—5(3k+2) 3k+ 1+ 2k+ k一 6k+ 1； 一 2==3(15走+20k+6)不是质数． 综上 ， 一 3． ③当n=6k~3H寸[号]+[号]+[詈]一 例 2 某个质数 ，当它分别加上 6，8，12，14 3k+ 1+ (2k+ 1)+ k一 6k+ 2 之后还是质数 ，那么这个质数是 ． — — (第 1o届 “希望杯”初二第 2试) ④当一6k~4、6k+5时，1号1+l号l+ 解 注意到6，8，12，14被5除所得的余数 分别为 1，3，2，4．故可想到设所求 的质数为 P， 『]一3五+2+(2忌+1)+是一6k~3． 对 声分五种情况讨论． LbJ 设 走是非负整数． 其中能使[号]+[号]+[詈]一成立的，只有 ①若p一5k，由于P是质数 ，故只能户一5． 此时它分别加上 6，8，12，14之后为 11，13，17， 一 6k(k为整数)． 19，它们均为质数 ； 又正整数 小于 100， ② 若 一5k+1，则户+14===5k+1+14 所以满足条件的有l j一16(个)． — 5(尼+3)为合数 ； ③ 若户一5k+2，则P+8—5k+2+8— 注 由上面的解法 ，我们可以给出本例 的 5(是+2)为合数 ； 两个变式 ： ④ 若 一5k+3，则 P+12—5k+3+12 变式 1 正整数 小于 100，并且满足等式 — 5(是+3)为合数 ； [号]+[号]+[詈]：