一道联赛题的证明与演化.pdfVIP

《数理天地》初 中版 数学竞赛 2O13年第 1期 杨同伟 (陕西省西安市昆仑中学 71oo43) 题 目 在 四 边 形 由AD — DC，得 仙 CD 中，已知 BAD 一 DAC 一 ACD 一 45。，0D 【AC． 60。， ABC 一 90。， BCD 因为 BAD 一60。， 一 12O。，对角线AC、BD 交于 所 以 BAC=== BDC一 15。， 点 S，且 DS = 25B，求 证 ： 从而 ODS一 ()DC一 SDC===30。． AD — IX 。 在Rt△ODS中，0s一去 DS， (2011年 全 国初 中数 学联 赛) 证明 由 BAD 一60。， ABC 一 90。， 又因为 BOC一2 BAC一30。， BCD ===12O。，可得A、B、C、D四点在 以AC为 OBD 一 ODB 一 30。， 直径 的圆 上 ，如图，设圆心为0，半径为R．连 所 以 BOS一 OBS一 30。， 接OB、OD，在 △BOD中，作OH 上BD于点H． 所 以 OS— BS． 因为 B0D 一 2 BAD 一 12O。， 可得 DS一 2SB． 所 以 ∞ D 一 ODB 一 30。， 演化2 交换条件 “BAD一60”’与结论 BD 一 2DH 一 2Rsin60。一 ， “AD — DC”． 1 1 ()H 一 寺OB一 ÷R。 命题 2 在 四边形ABCD 中，AD — DC， ABC一 ADC一 90。，对角线 AC、BD 交于 又 因为 DS一 2SB， 点S，且 DS= 2SB．求证 ： BAD 一 60。． 所 以 DS一 ，BS一,／gR ， 证明 由 ABC 一 ADC一 90。，可知 A、B、C、D四点在以AC为直径的圆0上．连接 HS — DS — DH 一 R ， OB、019，设 BAC一 0，则 b B(_)C 一 20， BDC ===0． 所 以 ( 一 、， 丽 因为 DCS= DBC一 45。， , ／3R n BDC为公共角 ， 、． 0 所 以 △DCS∽ △DBC， 从而有。+∞一 ) 一2R一瞬 于是 一器，DC一DB·DS． 故 019 fAC，