从一类考研题看不定积分与变限定积分的关系.docVIP

从几道重要例题看不定积分与变限定积分的关系 白秀琴 杨宝玉 （平顶山工业职业技术学院基础部 河南平顶山 467001） 摘 要：通过一类考研题的讨论，表明不定积分只能作为运算符号，无法用来讨论的某一原函数的性质；而变限定积分函数为某一确定的原函数。可以用它来讨论的原函数的性质；如函数的奇偶性、单调性、极值等. 关键词：不定积分 原函数 变限定积分函数 From a few s see the indefinite integral with change to limit the definite integral of relation BAI Xiu-qin,Yang Bao-yu (Pingdingshang Industrial College Of Technology,Pingdingshan,Henan,467001) Abstract: Through the discussion of this kind of problems in the entrance exams for pastgraduate schools ,it showa that the indefinite integration can just be used as mathematical symbol, but can’t used to discuss the primary function of f(x); while the Change to limit the definite integral， as one certain primary function, can discuss the quality of f(x), such as the odd or even quality, monotonity extremeum, and value etc. Key words: indefinite integration; primary function, Change to limit the definite integral 求导数(或微分)的逆运算问题——求不定积分，是积分学的基本问题之一，而定积分是通过微元分析，并归结为同一类型的黎曼和的极限，这是从两个完全不同的角度引进的两个不同的概念，两者之间的联系之一就是微积分第二基本定理，也就是我们熟悉的牛顿——莱布尼兹公式：该公式表明，在定理条件下，函数在上定积分的值等于它任意一个原函数在该区间上的改变量，它将定积分的计算转化为求原函数的函数值问题. 上面公式的重要性不用置疑，然而很多人往往忽视他们之间的另外一个联系，也就是从微积分第一基本定理得到的，这也是本文主要讨论的内容；不定积分与定积分中的变限定积分的关系，绝大部分的高等数学教材，例如同济大学的《高等数学》介绍不定积分与变限定积分的关系，主要就介绍变上限函数求导定理，并引出原函数存在定理 ，同时证明牛顿——莱布尼兹公式.，现在首先来看 变上限积分函数的求导定理： 设在上连续，则.，由此可知是的一个原函数，很多高等数学教材就只介绍上面这个求导的式子，接下来并没有强调另一关键的式子: 因为要注意的是不定积分只能作为运算符号，或者说它表示一类函数的集合，不能表示的一个具体的原函数，特别当为一个抽象的函数时，无法用来讨论它的某一原函数的性质，而的最大优点在于它的确定性，可以用它来讨论原函数的性质；如函数的奇偶性、单调性、极值等等，以下我们通过几个例子来看看变限积分函数的应用以及它的重要性。 例1 1999年数学一、二、三、四的一道选择题: 设是连续函数，是的原函数,则 当是奇函数时，必是偶函数 当是偶函数时，必是奇函数 当是周期函数时，必是周期函数.当是单调增函数时，必是单调增函数. 现用变上限定积分表示的一个原函数，记并设其中为连续的奇函数，则 所以为偶函数，应选(A)..从上面的例子可以看出,变限定积分比起不定积分的最大优越性在于它的函数形式的确定性，我们再来看一道类似的题目: 例2 设为的一个原函数,且满足，求 本身是一个不可积的函数，我们根本不能把表达成初等函数的形式，这个时候唯一的办法就是利用变上限积分 解 设它是的一个原函数，又显然满足，于是由于双重积分里面关于的原函数不可积,所以用交换积分次序的办法 又如常微分方程中的一阶线性微分方程,它的通解为x.，在与并未具体给出时，如何表达初值下的特解呢？下面是1996年考研数学二第八