对称扩展的有界分配格的同余关系及其应用.pdf

2010年12月 纯粹数学与应用数学 Dec．2010 第26卷 第6期 PureandAppliedMathematics V0l1．26No．6 对称扩展的有界分配格的同余关系及其应用 刘莎莎，罗从文 (三峡大学理学院，湖北 宜昌 443002) 摘要：给出了对称扩展的有界分配格的定义，即带有满足一定条件的一元运算的有界分 配格．然后给出了这种分配格上的主同余的等式刻划及其可补性．最后，讨论了对称扩 展的有界分配格的次直不可约性． 关键词：分配格；对称扩展分配格；主同余关系；可补性；次直不可约性 中图分类号：O153．1 文献标识码：A 文章编号：1008—5513(2010)06—1053—04 自从文献 1『】介绍了带一元运算的分配格，即 Ockham代数之后，一大批学者在 Ockham 代数研究领域取得了重要进展 [2-6】．2000年，文献 f81介绍了扩展 Ockham代数类 eO，即由代 数 (；A，V，，jk，0，1)构成的类，其中 (；A，V，0，1)是一个有界分配格，．厂是 上的对偶 自同态， 是 上的 自同态，并且 ，与 k是可换的，即 ．厂 =kf．本文主要讨论带有格 自同态 k，并且 k 满足条件k(1)=1，k(O)=0，及k2=I(I表示 上的恒等映射)的有界分配格．我们称这种分 配格为对称扩展的有界分配格，并记为 (；)．文章第一部分主要是给出了关于主同余关系的等 式刻划，以及对主同余关系的可补性的讨论．第二部分是对这种分配格的次直不可约性的讨论． 1 主同余关系 所谓对称扩展的有界分配格 (；)上的一个同余关系，是指 L的格同余关系 满足 (a，b)∈ (尼(n)，南(6))∈ 给定a，b∈L，a b，我们用 e(a，b)表示由a和 b生成的主同余关系．也就是使得a和 b在同 一 类的最小同余关系．格 L上对应的主格同余关系用 OL(a，b)表示．根据文献 [8】的定理 2．1， 在对称扩展的有界分配格中 e(a，b)=OL(a，b)VOL(k(a)，(6))． 下面的定理是对 (；)中的主同余关系的等式刻划．在下文的讨论中，如无特殊说明， 均 表示对称扩展的有界分配格． 定理 1．1 对任意的a，b∈L，若a b．则对 ，Y∈L，(，Y)∈e(a，b)当且仅当在 L中下 列等式成立： 收稿 日期：2010-01—30． 作者简介：刘莎莎 (1986-)，硕士研究生．研究方向：序结构理论 1054 纯粹数学与应用数学 第26卷 (1)XAaAk(a)：YAaA (0)；(2)(Aa)Vk(b)：(YAa)V (6)； (2’)(A七(0))Vb=(YA后(n))V6；(3)(Vb)Ak(a)=(YVb)A (n)； (3’)(XV (6))Aa：(YV (6))Aa．(4) VbVk(b)=YVbV (6)； 等价地，等式 (1)，(2’)，(3’)和 (4)在 中成立，其中 证明 若(，Y)∈0(a，6)，则 ([]， )∈ (，[hi)，其中 表示t关于同余关系0L(k(a)，七(6)) 在 中的类．于是有 [X】Aa【】=[Y】^[n]， V ：[Y】V[6]．即(Aa，YAa)∈0L(k(a)，后(6))，以 及 (XVb，YVb)∈0L(k(a)，七(6))，立即可得 (1)一(4)成立．另外，若 (Ix]， )∈ ((n)]， (6)])， 此时 [t]表示t关于同余关系Oi(a，b)在L中的类，则有 (X，Y)∈O(a，b)当且仅当 (1)，(2’)，(3’) 和 (4)在 中成立． 推论 1．1 (，Y)∈o(o，a)当且仅当xVaVk(a)：YVaV (n)；(，Y)∈0(a，1)当且仅 当XAa八k(a)=YAaA (0)． 下面将给出对称扩展的有界分配格 L的主 同余关系的补元的刻划 ．事实上，如果 a≤b， c d，那么Or(n，b)A