共振条件下积分边值问题解的存在性.pdf

2010年l2月 纯粹数学与应用数学 Dec．2010 第26卷 第6期 PureandAppliedMathematics Vo1．26No．6 共振条件下积分边值问题解的存在性 王婷，韩晓玲 (西北师范大学数学与信息科学学院，甘肃 兰州 730070) 摘要：运用 Mawhin重合度理论建立了二阶 Stieltjes积分边值问题解的存在性定理， 其所得结果推广了多点边值问题 已有的一些结论． 关键词：Stieltjes积分边值问题；共振；Fredholm算子；重合度理论 中图分类号：O175．8 文献标识码：A 文章编号：1008—5513(2010)06—1032—08 1 引言 近年来，有关共振条件下多点边值 问题可解性的研究，受到了众多学者的广泛关注，已有 多种不同的方法来研究这一类问题，大多数学者着重讨论了一维核的共振问题 【一．最近，文 献 [5】中运用Mawhin重合度理论研究了问题 (t)=f(t，()，xt())+e(t)，0t1， (0)：∑m (z )： ) · ， i=1 j=l 的可解性．受到上述文献启发，本文在二维核的情形下研究T--阶Stieltjes积分共振边值问题 (￡)=f(t，()， (t))+e(t)， (。)= ()()dt()，(1)：o／(t)(￡)d叩(￡)． 2‘· C [0，1】解的存在性． 本文假设条件： (1)．厂：[0，1】× +一 满足 Caratheory条件； (2)c(t)EL[0，1】； (3) (t)，z(t)是定义在 0【，1]上的连续函数，记 t哿】a()=m．maxlJ~()=M； (4)∈(￡)，叩(t)为定义在 [O，1]上的单调非减的有界变差函数，且满足M~I(t)1，m (t)1 收稿 日期：2010—09—29． 基金项目：国家自然科学基金 ，西北师范大学科学技术创新项目(nwnu-kjcxgc一03-69，nwnu—kjcxgc一0361) 作者简介：王婷 (1988一)，硕士，研究方向：常微分方程边值问题． 第6期 王婷 等：共振条件下积分边值问题解的存在性 1033 文献 5【】在边值条件下研究了共振问题 (1．1)的解的存在性，显然 (1．2)式是它的推广 以下总假定： (H。) a )d(t)=1， Q(t)td∈(t)=。， (t)d?7(t)=1． 2 预备知识 用 Z+ 表示正整数集，P1，VP∈Z+．记 q)：(q+1)a㈣ 1一o／ 一 p(+1)f01口()+1d()(1一o／fl()d叩())． 引理 2．1 如果条件 (3)和 (4)满足，则存在P∈z+，q∈z+，q≥p+l，使得A ，q)≠0． 证明 我们可以得到 P∈Z+，使得 () (￡)≠1．否则，Vp∈z+，有 (t)(h7(t)=1． 又因为 ()d叼()A d叩()：^(叩t()}5一町()d)=^叩(1)一^叼(t)d， 两边取极限得 刖 d叼() M叩() ， p 因此矛盾，从而存在P∈{0，l，… ，n)，使得