§5线性方程组的解的结构.ppt

解向量的性质 求解空间的一个基 * §5 线性方程组的解的结构 ★齐次线性方程组的解向量、基础解系 ★非齐次线性方程组的通解结构 下页 关闭 在上一章§1中，我们已经介绍了用矩阵的初等变换 解线性方程组的方法，并在§3中建立了两个重要定理。 而本节要从理论上描述线性方程组的解的结构。可以说， 本节综合了线性代数中大部分的重要概念。 上页 下页 返回 在上一章§1中，我们已经介绍了用矩阵的初等变换解线性方程组的方法，并在§3中建立了两个重要定理，即 (1) n 个未知量的齐次线性方程组AX = 0 有非零解的充分必要条件是R(A) n 。 (2) n 个未知量的非齐次线性方程组AX = b 有解的充分必要条件是R(A) = R(B), 且当R(A) = R(B) = n 时方程组有唯一解，当R(A) = R(B) n 时方程组有无限多个解。 下面用向量组线性相关性的理论来讨论线性方程组的解。 设有齐次线性方程组 上页 下页 返回 为(1) 的解，则 称为方程组(1) 的解向量. 性质1 证明 性质2 证明 上页 下页 返回 用 S 表示方程组(1)的全体解向量所组成的集合，即有： 即 S 对于向量的线性运算是封闭的，所以集合 S 是一个向量空间。称为方程组（1）的解空间。 上页 下页 返回 设系数矩阵 A 的秩为 r ，不妨设 A 的前 r 个列向量线性无关，于是 A 的行最简形是： 上页 下页 返回 与 B 对应的方程组是： 由于A 与B 的行向量等价，故方程组(1) 与方程组(2) 同解。 在方程组(2) 中，任给 xr+1, …,xn 一组值，即唯一确定 x1, x2, …, xr 的值，就得(2) 的一个解，也就是(1) 的解。 上页 下页 返回 令xr +1, … ,xn 取下列 n －r 组数： 由(2) 依次可得： 从而求得(3) ，也就是(1) 的 n－r 个解： 上页 下页 返回 就是解空间的一组基。 上页 下页 返回 下面证明 首先, 由于(xr +1 , xr +2 , … , xn )T 所取的 n－ r 个 n－r 维向量 线性无关， 所以在每个向量前面添加 r 个分量而得到的 n－ r 上页 下页 返回 其次，证明(1) 的任一解 为此作向量 上页 下页 返回 由于它们都满足方程组(3) ，从而知它们前面 r 个分量也对应相等， 根据以上的证明，即得： 定理6 n 元齐次线性方程组Am×n x = 0 的全体解所构成的集合S 是一个向量空间。当系数矩阵的秩R(A) = r 时，解空间S 的维数为 n － r 。 知它们的后面 n － r 个分量对应相等， 就是解空间 S 的一组基。 上页 下页 返回 例如，(xr +1, …, xn )可任取 n－ r 个线性无关的n－ r 维向量，由此即可相应地求得解空间的一个基。 解空间S 的基又称为方程组(1) 的基础解系。 结论: 当R(A) = n 时，方程组 (1) 只有零解，因而没有基础解系。 当R(A) n 时，方程组(1) 必有一个含n－ r 个向量的基础解系。 前面的证明过程还提供了一种求解空间的基的方法。当然，求基的方法很多，而解空间的基也不是唯一的。 上页 下页 返回 上式称为方程组(1) 的通解。 解空间可表示为 下面再举一例。 其中k1, k2, …, kn－r 为任意实数。 解系，则(1) 的解可表示为 为方程组(1) 的一个基础 上页 下页 返回 例17 求齐次线性方程组 的基础解系与通解。 解 对系数矩阵A 作初等行变换，变为行最简形矩阵，有 上页 下页 返回 上页 下页 返回 即得基础解系 上页 下页 返回 由此写出通解： 上页 下页 返回 即得不同的基础解系 根据(*) 式，如果取 上页 下页 返回 (试比较本章解法与上一章解法的不同) 上页 下页 返回 Ex.4 求齐次线性方程组 的基础解系与通解。 解 对系数矩阵A 作初等行变换，变为行最简形矩阵，有 上页 下页 返回 上页 下页 返回 上页 下页 返回 例18 设A，B 都是 n 阶矩阵，且AB = 0, 证明 证 若 r =n， B = 0，R(B) = 0, 等号成立。 则方程组AX = 0 的解空间的维数为 n－ r 。