有关椭圆的基本性质的问题.docVIP

有关椭圆的基本性质的问题 一、本节内容的地位和作用： 圆锥曲线是高考的重点，也是一个难点。每年的高考中都占有20-40分，必有一道解答题。而椭圆又是圆锥曲线中的最重要最基础的一部分，并且很多双曲线和抛物线的问题都可以借用解决椭圆问题的方法来解决。因此把椭圆的知识点学好，学扎实也就相当于学好了圆锥曲线。 二、教材的处理和整合 课本上的内容过于简单，只有椭圆的定义及一些概念和基本性质，这远远没有涵盖椭圆的性质及应用，因此我们要补充许多过于椭圆性质的内容，主要包括直线与椭圆的位置关系问题、中点弦问题、相交弦问题、曲线与方程问题及最值问题。这些内容都是椭圆中十分重要、典型的、学生必须熟练掌握的知识点。尤其在所加的知识点上，老师可以结合圆的知识点与椭圆进行比较，例如直线与圆的位置关系，切线方程，相交弦公式等都可以类比掌握。各类性质一定要专门配备一定的练习量，如果缺乏相应的练习，学生只记住性质概念而没有实际单独的练习，他们是很难掌握椭圆性质的。椭圆曲线这一节讲定义性质及习题练习共需10节课时，定义需理解，长短长、焦距长、a、b、c之间的关系及相交弦公式等需记忆，性质需理解的基础上应用，要想掌握椭圆知识点归根结底还是需要大量的练习。所以我们准备了练习册和课本作业，及相应的周末训练。 三、与椭圆有关的基本性质 1、椭圆焦点三角形 椭圆焦点三角形定义及面积公式推导 （1）定义：如图1，椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形称之为椭圆焦点三角形． （2）面积公式推导 解：在中，设，，，由余弦定理得 ∴ 即， ∴=． 例1．焦点为的椭圆上有一点M，若，求的面积． 解：∵， ∴， ∴ ． 例2．在椭圆的中，是它的两个焦点，B是短轴的一个端点，M是椭圆上异于顶点的点，求证：． 证明：如图2，设M的纵坐标为， ∵， ∴， 即， 又都是锐角， 故 从而有． 练习1、的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积为 （ ） A．4 B．6 C． D． 答案：B 2、 B．2 C． D． 答案：A 3、麻城博达学校2008届测试已知P是椭圆上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若，则△F1PF2的面积为 A． B． C． D．相交于A,B两点，为A,B的中点， 求直线L的方程。 解：方法一：代入法（通法） 设两点坐标为， 当直线L斜率不存在时，显然不符合题意。 直线L斜率存在，设为k，则直线方程为： 将直线带入椭圆方程得： 所以所求直线为： 分析：这种方法是运用方程的思想，直线与椭圆的交点也就是直线方程与椭圆方程的方程组的解。但是在解题中并没有把交点直接求出来，而是运用了韦达定理得到用k所表示的两根之和。这里把A,B的坐标设出来而没有求，也是设而不求的思想。 方法二：点差法 设两点坐标为， 两式作差得： 变形可得： 所以所求直线为： 分析：这种方法利用了作差变形，直接得到了直线的斜率，对于解题十分方便。这里也没有求出点的坐标，也体现了设而不求的思想。 方法三：作差法 设两点坐标分别为： 两式作差得： 分析：作差后直接得到一个关于x与y的方程，因为x与y就是直线上的点，所以这个方程就是所求的直线方程。 总结： 运用第一种方法解题时，思路比较简单清楚，就是为了得到两根之和的表达式，但是需要列出方程组后把直线方程带入椭圆方程，计算量比较大。这种思路是解决圆锥曲线问题的一种最基础、最通用、最重要的方法。 第二种点差法比第一种简单方便，主要是用来解决中点弦问题的。它不仅可以用来求中点弦的直线方程问题，也可以求中点弦中点的轨迹方程以及求中点坐标。 第三种方法是专门针对求直线方程的，它是一种很特殊的方法，对于这类求直线方程的问题能够快速而精确的解决。 前面两种方法体现了数学中的设而不求的思想，这种思想在解决圆锥曲线的问题中经常使用。 这些方法不仅可以解决椭圆的中点弦问题，对于双曲线与抛物线也可以使用，但是有时候也要注意他们自身的一些特性。 练习：已知直线L与双曲线相交于A,B两点，为A,B的中点，求直线L的方程。 3直线与椭圆位置关系 研究直线圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看有三种：相离、相切、相交。一般通过它们的方程来研究位置关系，设直线：，二次曲线：，联立方程组，消去（或）得到一个关于（或）的方程（或）。当时，，则方程有两个不同的解，直线与圆锥曲线有两个交点，直线与圆锥曲线相交；，则方程有两个相同的解，直线和圆锥曲线由一个交点，直线和圆锥曲线相切；，方程无解，直线和圆锥曲线无交点，直线和圆锥曲线相离。当时，方程为一次方程，方程只有一个解，此时直线和圆锥曲线相交。 重难点：直线与椭圆的位置判断及联立方程消元 例1、判断直线与椭圆的位置关系 解：由可得 （1）当时，