连续函数的性质.docVIP

§２　　连续函数的性质 教学目的：熟悉连续函数的性质并能灵活应用。 教学要求：（１）掌握连续的局部性质（有界性、保号性），连续函数的有理运算性质，并能加以证明；熟知复合函数的连续和反函数的连续性。能够在各种问题的讨论中正确运用连续函数的这些重要性质；（２）掌握闭区间上连续函数的主要性质　，理解其几何意义，并能在各种有关的具体问题中加以运用；（３）理解函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识到函数在一区间上连续与在这一区间上一致连续这二者之间的联系与原则区别。 教学重点：闭区间上连续函数的性质； 教学难点：一致连续的概念。 引言 函数的连续性是通过极限来定义的，因而有关函数极限的诸多性质，都可以移到连续函数中来。 一　连续函数的局部性质 性质１（局部有界性）若在连续。则在某有界。 性质２（局部保号性）若在连续，且则对任何正数，存在某有。 注　①在具体应用局部保号性时，取一些特殊值，如当时，可取，则存在，使得当有；②与极限相应的性质做比较可见，这里只是把“极限存在”，改为“连续”，把改为其余一致。 性质３。（四则运算）若和在点连续，则也都在点连续。 问题　两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否仍旧连续？ 性质４（复合函数的连续性）若在点连续，记，函数在连续，则复合函数在点连续。 注　1) 据连续性定义，上述定理可表为：.（即函数运算与极限可以交换次序，条件是函数连续利用它可来求一些函数的极限。） 求. 2) 若复合函数的内函数当时极限为a，又外函数在连续，上面的等式仍成立。（因此时若的话是显然的；若，或在无定义，即是的可去间断点时，只需对性质４的证明做修改：“”为“”即可）。故可用来求一些函数的极限。 例２ 求极限（１）;（２）. 性质５（反函数的连续性）若函数在上严格单调并连续，则反函数在其定义域或上连续。 二、初等函数的连续性 １．复习（关于初等函数） （１）初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数。 （２）基本初等函数： 常量函数； 幂函数； 指数函数； 对数函数； 三角函数； 反三角函数。 ２．初等函数的连续 　　定理１　任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数。 定理２ 一切基本初等函数都是其定义域上连续函数。 ３．利用初等函数的连续性可计算极限 例３．设，，证明：。 例４．求。 例５　求。 三　区间上连续函数的基本性质 引　言 闭区间上的连续函数具有一些重要的性质。现将将基本的列举如下。从几何上看，这些性质都是十分明显的。但要严格证明它们，还需其它知识，将在第七章§２给出。先给出下面的关于“最大大值”的定义： 定义１　设为定义在数集Ｄ上的函数，若存在，使得对一切都有（），则称在Ｄ上有最大（小）值，并称为在Ｄ上的最大（小）值。 例如，。、。 一般而言， 在其定义域上不一定有最大（小）值，即使在Ｄ上有界。 例如：无最大（小）值； 在［０，１］上也无最大（小）值。 １．性质 性质１（最大、最小值定理）若在闭区间上连续，则在上有最大值与最小值。 性质２（有界性定理）若在上连续，则在上有界。 思考　①考虑函数，上述结论成立否？说明理由；②要存在最大（小）值或有界是否一定要连续？是否一定要闭区间呢？ 结论　上述性质成立的条件是充分的，而非必要的。 性质３（介值定理）设在上连续，且。若是介于和之间的任何实数，则至少存在一点，使得。 注　表明若在上连续，又的话，则在上可以取得和之间的一切值。（如左图）。 性质４（根存在定理）　若在上连续，且和异号（），则至少存在一点，使得。 几何意义　若点和分别在轴两侧，则连接Ａ、Ｂ的曲线与轴至少有一个交点。 ２．闭区间上连续函数性质应用举例 　　关健　构造适当的；构造适当的闭区间。 例６．证明：若，为正整数，则存在唯一正数，使得。 例７．设在上连续，满足。证明：存在，使得。 四　一致连续性 引言 在连续函数的讨论和应用中，有一个极为重要的概念，叫做一致连续。我们先叙述何谓一致连续。 设在某一区间Ｉ连续，按照定义，也就是在区间Ｉ内每一点都连续。即对时，就有。 一般说来，对同一个，当不同时，一般是不同的。例如图左。中的曲线，对接近于原点的，就应取小一些。而当离原点较远时，取大一些。（对后者的值就不一定可用于前者。但在以后的讨论中，有时要求能取到一个时区间Ｉ内所有的点都适用的，这就需要引进一个新概念——一致连续。 １．一致连续的定义 　　　　定义（一致连续）　　设为定义在区间Ｉ上的函数。若对任给的，存在一个，使得对任何，只要，就有，则称函数在区间Ｉ上一致连续。 函数在区间上连续与一致连续的比较 区别： 定义 函数在Ｉ连续，，当时， 函数在Ｉ上一致连续，，当，时， 对的要求 对于Ｉ上的不同的点，相应的是不同的，换言之，的取值除依赖于外，还与有关，由此记