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同项幂的比应该就是这个常数。例如最高次幂: 最高项: * 偏微分方程 常微分方程组 分离变量 本征值问题 广义傅立叶级数 勒让德多项式 贝塞耳函数 (特殊函数) 特殊函数 勒让德、埃米特、拉盖尔等多项式; 贝塞耳、虚宗量贝塞耳、球贝塞耳、 超几何,汇合超几何等函数。 10.1 轴对称球函数 第十章 球函数 一、勒让德多项式 有限 设最后一个不为零点系数有 1.代数表示 则对 适当乘本征函 数以常数使得 勒让德多项式: :小于、等于 l 的最大整数。 总有 x 。 唯一不含 x 的项 2. 微分表示(罗德里格斯公式) 证: # 3.积分表示(施列夫积分) 由科西公式 C 绕 z=x 点。 设半径为 C 上 即 二、 正交关系和模 1. 正交关系 一个公式 2. 模 第一项为零,即 进行 l 次分步积分后 只有最高次幂才不为零,故 再逐次进行分步积分,得 即 三、广义傅立叶级数 定义在区间 的函数 可以展开为广义傅立叶级数 展开系数为 或区间 的函数 展开为 系数为 例: 在 ,中将 展开为广义傅立叶级数。 解: 比较 展开式最多含三阶勒让德多项式。 例2 是奇函数: 因 找出 项,它在 x=0 才不为零。 例3 解: 由轴对称 球内含 所以 拉普拉斯方程的轴对称问题 边界条件与角 无关,可以推断 解也与角 无关。故 边界条件: 例 4 解: 偶延拓: 例 5 均匀电场中放置介电常数ε的球,求介质球内、外的电场。 解: 无穷远处有边界条件, 球面处有衔接条件。 取球坐标,z-方向沿 。 轴对称拉普拉斯问题 内外分别讨论,然后连接起来。 边界条件: 衔接条件: Internal: External: 电势连续: 电位移连续: 连续 轴对称拉普拉斯方程度解的一般形式: 球内 有限: 球外无穷远边值: 利用衔接条件: 解得 球内电场强度: 四、母函数 定义: 叫勒让德多项式的母函数。 电荷在单位球的北极。 求球内任一点电势。 它又是拉普拉斯方程度内解: 令 又 所以 即 是勒让德多项式的母函数。 球外 令 所以 半径 R 的球: 例6 解: 利用已知结果。 导体内:等势。 导体外: 无导体时 有导体时,设 接地 又 是 处电荷 的电势。这个电荷叫原电荷的镜像。 是原电荷的电势与镜像电荷的电势的叠加。 五、递推公式 两边求导 或 两边同幂的系数 递推公式 10.2 连带勒让德函数 1.函数 设 m是规定的 是 l 次多项式,求 l+1 次导数后变为零。 2. 微分表示 情况: 这也是勒让德方程满足自然边界条件的解。二阶微分方程至少有两个独立解, 但满足特定边界条件的解是唯一的,故这两个解只相差一个常数。 *
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