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基于问题的过程性变式教学例举 一、源起 在高三理科班复习课间，有学生拿来这样一条题目请教：已知实数、满足，，则 。趁着课间休息十分钟，我就在黑板上推演起来：为统一处理两个等式，令，则，并且注意到，其相应的判别式，于是在上为增函数，从而可知实数、均为确定实数，其和应该为某一定值。 提问题的学生表示直到此处均能接受，但是下面如何处理却毫无头绪，至此好像问题无法进一步深入下去，看到老师也要被卡住，之前该生座位周围参与研究的几个男同学都围了上来。 “通过解三次方程分别求得实数、，进而求得的值，这个方法可取吗？”几乎所有人都说不可取。“依照我们的解题经验，应该是找到函数的一个性质进行巧解，这是个什么性质呢？” “题中三次函数在实数集上单调递增，何妨以为例，三次曲线关于原点还是对称的，原点恰好是其导函数的零点”至此，我写出如下解决方案： ，故为其拐点（即凹凸区间分隔点），∴为图象的对称中心。 ∵，∴应有，故。这时提问的同学似懂非懂地说这道填空题的答案就是，也有几个同学沉思着散开了。 二、反思 有了与原题提供相符的答案，但是还觉得有必要对这道题进行反思和挖掘：其一，将本题进行函数架构下的认识，体现了函数思想的应用意识；其二，对三次函数性质（结合本题主要是单调性和对称性）的认识，是否就立足于使用导数工具这一抽象的处理手段？其三，类比推理在解题中的作用应该在多大程度上予以肯定和应用。 作为高中数学教学内容的主干和核心知识，函数是历年江苏高考考察的重点和热点：高考既注重单独考查函数的基础知识，也会突出考查函数与其它知识的综合应用；既考查具体函数的图象与性质，也考查函数思想方法的应用。联系到高三复习一直在关注变式教学，在当前演绎推演占主导地位的数学学科教与学当中，变式教学可以说是一个兼容并包、海纳百川的教学法。 《教育大辞典》（顾明远主编，1999）对“教学变式”词条的解释是：“在教学中使学生确切掌握概念的重要方式之一，即在教学中用不同形式的直观材料或事例说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质特征。目的在于使学生了解哪些是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征，从而对一事物形成科学概念。”传统意义上的教学变式主要包括两类：一类是属于概念的外延集合的变式，称为概念变式，其中又可以根据其在教学中的作用分为概念的标准变式和非标准变式；另一类是不属于概念的外延集合，但与概念对象有某些共同的非本质属性的变式，称为非概念变式，其中包括用于揭示概念对立面的反例变式。所有这些概念变式和非概念变式，我们统称为概念性变式。用概念性变式进行教学的基本特征是：通过各种概念变式之间、以及概念变式与非概念变式之间的差异与联系来把握概念的内涵与外延，实现对概念的多角度的理解。 随着自己教育教学实践的增多，我逐渐体会到在数学教学中，除了概念教学外，还包括数学活动经验的教学。由于数学活动经验通常镶嵌在动态的教学过程中，而静态的概念性变式难以反映这种动态的特征。在20世纪80年代初，顾泠沅先生（1981）提出了“过程性变式”的概念，并将教学变式从概念教学推广到活动经验的教学。 数学活动过程的基本特征是层次性。这种层次性既表现为一系列的台阶，也可以表现为某种活动策略或经验。在概念形成过程中，过程性变式反映了概念形成的逻辑过程、历史过程或者心理过程，从而使学生的学习可循序渐进地进行；在问题解决的过程中，过程性变式既可以表现为一系列用于铺垫的命题或概念，也可表现为某种活动策略或经验，从而使学生的问题解决活动具有多个台阶或多种途径；在形成认知结构过程中，过程性变式构成一个多层次的经验系统，从而使学生原有的间断、琐碎的活动经验成为一个有机的整体。因此，过程性变式的主要教学含义是在数学活动中，通过有层次的推进，使学生分步解决问题，积累多种活动经验。有鉴于此，在下节课我准备花点时间来帮助学生体会函数问题的解决策略，形成自己的经验系统。 三、实施 下节课一开始我就先抛出同学所问的问题：已知实数、满足，，则 。 如何解答本题？ 为统一处理两个等式，令，则，并且注意到，其相应的判别式，于是在上为增函数，从而可知实数、均为确定实数，其和应该为某一定值。下面的解决思路需通过研究所给函数性质进行。至此转入过程性变式训练： 三次多项式叫做三次函数，其中是常系数。三次函数定义在全部实数集上，其图象叫做三次抛物线或立方抛物线。 三次函数的最简单情形是。函数的图象具有如下性质：若为正，则函数在全部数轴上是增大的，若为负则是减小的，亦即不管系数的符号如何，函数是单调函数；不管系数的符号如何，函数的图象关于坐标原点对称，是实数集上的奇函数。 考虑三次函数的另一特殊情形，即时：。作这个函数的图象时，只要把立方抛物线及直线两者的纵坐标用几何方法相加即可。这时