几何题分析可以从逻辑关系入手.docVIP

几何题的分析可以从逻辑关系入手 ——从一道中考错题谈起 浙江舟山南海实验初中 张宏政（316021） 在翻阅2012年各地中考试题的过程中,看到湖北恩施州初中学业考试数学试卷第23题的第(3)问存在明显的问题,文[1]业已通过不同的解法说明了它的错误原因.但引发笔者思考的是,缘何这样的重大错误命题者竟然没有发现,因此,深入剖析产生问题的根源,可能会给我们的几何命题与解题带来一些有益的启示. 例1 (2012恩施中考)如图1,AB是⊙O的弦,D为OA半径的 中点,过D作CD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于点F,且CE=CB． （1）求证:BC是⊙O的切线; （2）连接AF,BF,求∠ABF的度数; （3）如果CD=15,BE=10,sinA=,求⊙O的半径． 让我们从试题的内在逻辑关系进行错因分析.若圆的大小给定,则当时,弦AB的位置也随之确定,从而D,E的位置也惟一确定,于是为保证BC=CE,则C点就惟一确定(即为BE的中垂线与直线DE的交点),从而说明CD的长是随BE的变化而变化.事实上,设OA=,过O作OH⊥AB于H,过C作CG⊥AB于G,则易知AH=,AE=,, 故EG=,从而CE==, 于是CD=CE+DE=,即CD=. 这就说明,(3)问中CD=15与BE=10这两个条件中有一个是多余的.看来这里命题者好心办了坏事,本想降低试题难度,但因给出的两个条件不相容,以致出现了重大错误. 下面让我们再来看一个引发老师困惑的问题. 例2 如图2，在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴相交于B,与轴相交于A,C两点. (1)求A、B、C三点的坐标; (2)已知有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度 的速度移动;同时另一动点Q以同一速度从点B沿BC移动,当其 中一个点到达端点时,另一个动点也随之停止;设运动时间为秒. ①探究:是否存在值,使得△PQC为等腰△.若存在,求出所有可能的值;若不存在,请说明理由. ②D在线段AC上,且AD=AB,若线段PQ被BD垂直平分,求的值. 针对第2小题②中值的求法,杨军老师给出了四种解法,却出现了四种不同的结果,造成杨老师百思不得其解(详细内容请参阅文[2]).那么,原因何在呢? 从试题各条件的逻辑关系入手,容易发现问题所在.因A,B,C均是确定的点,故若AB=AD,则D点惟一确定,于是∠DBC确定(不变量),因此若满足BD垂直平分PQ,即等价于∠PBD=∠CBD且BP=BQ,这就是说,P点位置也是惟一确定的,这样我们可以由∠PBD=∠CBD先确定P点的位置,再来验证这时的BQ(即AP)是否等于BP.若相等,说明这样的值存在;否则,这样的值就不存在. 事实上,如图3,连结BP,过点D分别作DF⊥BP,DE⊥BC,垂足分别为F,E. 由条件可知A(-3,0),B(0,4),C(4,0),故AD=AB=5,从而D(2,0), 易知DF=DE=,设OP=,则PD=,由△BOP∽△DFP得, ,求得,(舍去), 这时BP=,而BQ=AP=,显然BP≠BQ. 即不可能存在这样的值,使BD垂直平分PQ.看来,命题者也犯了想当然的错误. 我们都知道,几何问题的条件之间都是相互依存、和谐共生的,而结论正是这些逻辑关系下产生的应然结果.若某个环节出了问题,就必会产生不可调和的矛盾.因此,用运动的观点看待几何图形的生成过程,尝试用变与不变的逻辑关系分析已知与结论之间的关系,有利于更好的暴露问题本质,进而有效发现解决问题的方法[3].命题如此,解题更是如此.下面就让我们站在这个角度来分析几个几何题，以作进一步的说明. 例3 (2012宁波中考) 如图△ABC中,, AB=,D是线段BC上的一个动点以AD为直径画⊙O分别交ABAC 于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为△ABC惟一确定,而显然EF是随着AD的变化 而变化,因此,EF应可以用AD(直径)表示.于是,考虑构作直径EG,连结GF(如图4),则∠EFG=90°,而∠EGF=∠BAC=60°,故,从而当AD最小(即AD为BC边上的高)时,EF最小.容易计算AD的最小值为2,则EF的最小值为. 如图5,两个同心圆的半径分别为与,矩形ABCD的 边AB,CD分别为两圆的弦.当矩形ABCD的面积最大值时,求矩形ABCD的 周长. 分析一、由于两个同心圆的半径确定,因此,当AB变化时,AD也随之变化, 即AD的值可以用AB的长来表示,从而想到用列函数解析式的方法求解. 如图5,设AB=2x,过O分别作OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,连结OA,OD,则易知AD=,于是，其中. 但如何求这个函数的最大值对初中生来说却是难事,必须另辟蹊径.于是,能否把求面积的两个变量转化成用一个常量、一个变量表示就自然而然了. 分析二、考虑到本题中的不变量是直径(或