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平面向量的高考复习探究
摘要:平面向量是高中数学的内容,也是高考的一个亮点。它具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形一体,能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合,形成知识交汇点著名教育家布鲁纳说过:学习的最好刺激是对所学材料的兴趣,简单的重复将会引起学生大脑疲劳,学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性,如果我们能重视向量的教学,必然能引导学生拓展思路,减轻负担。平面向量与的交互渗透是新课程高考命题的一大趋势,也是近几年新课程高考的热点内容。通过选择适当的基底向量表示其它向量证明几何问题;利用向量的长度与方向的二要素简捷地证明三角函数问题;利用向量的坐标法解答解几题;利用涉及方向与数量的实际问题都可以向量为数学模型加以解答的应用问题。若能在其它章节的复习中让学生们穿插运用向量知识、向量的思想方法从不同的切入点解决各类问题、学生们的抽象思维能得到最充分的培养,各种数学能力会得到一定的提高。中,点在上,平方若,,,,则(A) (B) (C) (D)全国Ⅰ在△ABC中,=c,=b,若点D满足=2,则=( )
A. b+c B. c-bC. b-c D. b+c已知O、A、M、B为平面上四点,且=λ+(1-λ),λ∈(1,2),则( )
A.点M在线段AB上 B.点B在线段AM上
C.点A在线段BM上 D.O、A、M、B四点共线
解析 =λ+-λ=λ(-)+,
则-=λ(-),即=λ.
∵λ∈(1,2),∴点M在线段AB的延长线上,即点B在线段AM上.
已知a、b均为非零向量,命题p:a·b0,命题q:a与b的夹角为锐角,则p是q成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析当a与b夹角为0°时,a·b0;∴p/ q,
当a与b夹角α为锐角时,a·b=|a|·|b|cosα0,∴qp.
(四)、求λ的取值范围已知a=(1,3),b=(1,1),c=a+λb,若a和c的夹角是锐角,则λ的取值范围是( )
A. B.
C.(0,+∞)D.∪(0,+∞)
解析 由条件得,c=(1+λ,3+λ),从而
λ∈∪(0,+∞).已知向量a=(-2,2),b=(5,k).若|a+b|不超过5,则k的取值范围是( )
A.[-4,6] B.[-6,4]
C.[-6,2] D.[-2,6]
解析 ∵|a+b|=|(3,k+2)|=≤5,∴(k+2)2≤42,∴-6≤k≤2.∴选C.
在△ABC中,AB=,BC=2,∠A=,如果不等式|-t|≥||恒成立,则实数t的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.(-∞,]∪[1,+∞)
C.[,1] D.(-∞,0]∪[1,+∞)
解析|-t|≥||||2-2t·+t2||2≥||2,在△ABC中,易知AC=1,∠B=30°,故得2t2-3t+1≥0,解得t≤或t≥1.故选B.
已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角θ的取值范围是( )
A.[,π] B.[,]C.[,π] D.[,]
解析由条件得:Δ=|a|2-4a·b≥0,即cosθ=≤=,所以a与b的夹角θ的取值范围是[,π].故选C.
设F1是椭圆+y2=1的左焦点,O为坐标原点,点P在椭圆上,则·的取值范围是________.
解析 设P(x,y),则·=(--x,-y)·(-x,-y)=x2+x+y2=x2+x+1-x2=x2++1=(x+1)2=2,x∈[-2,2].
∴所求范围为[0,4+2].
若|a|=,|b|=2,且(a-b)⊥a,则a与b的夹角是( )
A. B. C. D.
解析 由(a-b)⊥a得,(a-b)·a=0,
∴a2-a·b=0.
∵|a|=,|b|=2,∴2-|a||b|cos〈a,b〉=0.
∴cos〈a,b〉=.∵0≤〈a,b〉≤π,∴〈a,b〉=.
已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角θ的取值范围是( )
A.[,π] B.[,]C.[,π] D.[,]
解析由条件得:Δ=|a|2-4a·b≥0,即cosθ=≤=,所以a与b的夹角θ的取值范围是[,π].故选C.
已知a=(m,n),b=(p,q),且m+n=5,p+q=3,则|a+b|的最小值为( )
A.4 B.4 C.6 D.8
解析由基本不等式知,x2+y2≥(x+y)2,
∴|a+b|=
≥(m+p+n+q)=×8=4,
当m+p=n+q=4时等号成立.
半圆的直径AB=4,O为圆心,C是半圆上不同于A、B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值是( )
A.2 B.0 C.-2
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