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浅谈奥赛数学教学中培养学生的数学思维能力 江苏如东高级中学 李海鸥 问题提出 数学奥赛（这里主要指高中数学竞赛），自上个世纪首先在匈牙利兴起，很快就风靡了全球。各种层次的竞赛吸引了众多的学生参加，成为数学教育中一件非常重要的事情。由于种种原因，现在参加竞赛的学生的人数急剧的增加，形成一种不可阻挡的潮流，但有人忧心忡忡，认为数学竞赛是一种急功近利行为，竞赛只是培养少数尖子，甚至有人认为竞赛与高考对立，竞赛并不能培养学生的数学思维能力，做竞赛题花时间太多，影响高考成绩。因此，在数学竞赛教学中如何发展学生的数学思维，培养学生的数学思维能力是一个广泛而值得探讨的课题。 二、数学思维能力概述 1.数学思维能力 我们知道，能力是顺利完成某种活动所必需的并直接影响活动效率的个性心理特征。数学能力是人们在从事数学活动时所必需的各种能力的综合，而其中数学思维能力是数学能力的核心。 2.数学思维能力因素 苏联著名心理学家克鲁捷茨基长期致力于中小学生数学能力的研究，在专著《中小学生数学能力心理学》一书中曾研究提出了数学能力包括一系列从最一般到非常特殊的因素： (l)最一般的能力，包括勤奋、坚韧的意志，品质和工作能力等个性心理特征。 (2)数学能力的一般因素，即广泛范围活动所必需的思维特征，如思维的条理性，灵活性等。 (3)数学能力的特殊因素，基本成分有： ①把数学材料形式化，把形式从内容中分离出来，从具体的数值关系和空间形式中抽象出它们，以及用形式的结构(即关系和联系的结构)来进行运算的能力； ②概括数学材料，使自己摆脱无关的内容而找出最重要的东西，以及在外表不同的对象中发现共同点的能力； ③用数字或其他符号来进行运算的能力； ④进行“连贯而适当分段的逻辑推理”的能力； ⑤缩短推理过程，用简短的结构来进行思维的能力； ⑥逆转心理过程(从顺向的思维系列转到逆向的思维系列的能力)； ⑦思维的灵活性，即从一种心理运算转到另一种心理运算的能力； ⑧数学记忆力，这是一种对于概括，形式化结构和逻辑模式的记忆力； ⑨形成空间概念的能力。 3.数学思维能力要素 高度的抽象性是数学最本质的特点，数学的抽象性导致了极大的概括性，抽象和概括构成了数学的实质，数学的思维是抽象概括的思维。因此，抽象概括能力构成了数学思维能力的第一要素，除此之外，还有推理能力，判断选择能力和探索能力。 三、竞赛数学教学中培养、提高学生的数学思维能力 普通数学教学都是讲数学中的典型范例，比如在《数列》这一章，普通数学教学中只讲授两种典型的数列：等差数列、等比数列，而在竞赛教学中我们要研究一些“非典型”问题，比如同样在《数列》部分，我们就要研究递推数列、高阶等差求和等问题。在研究“非典型”问题为典型问题的过程我们培养、提高学生的数学思维能力。 （一）抽象概括能力 数学抽象概括能力是数学思维能力，也是数学能力的核心。它具体表现为对概括的独特的热情，发现在普遍现象中存在着差异的能力，在各类现象间建立联系的能力，分离出问题的核心和实质的能力，由特殊到一般的能力，从非本质的细节中使自己摆脱出来的能力，把本质的与非本质的东西区分开来的能力，善于把具体问题抽象为数学模型的能力等方面。 具有抽象概括能力的学生在收集数学材料所提供的信息时，明显表现出使数学材料形式化，能迅速地完成抽象概括的任务，同时具有概括的欲望，乐意地、积极主动地进行概括工作。 奥赛数学教学中如何培养学生的抽象概括能力呢？我们认为从以下几方面入手： 1. 把审题和分析作为学习数学的关键，教学中将数学材料中反映的数与形的关系从具体的材料中抽象出来，概括为特定的一般关系和结构，做好抽象概括的示范工作，要特别注意重视分析和综合的教学。 2.在解题教学中要注意去发掘隐藏在各种特殊细节后面的普遍性，找出其内在本质，善于抓住主要的、基本的和一般的东西，即教会学生善于运用直觉抽象和上升型概括的方法。 3.培养学生概括的习惯，激发学生概括的欲望，形成遇到一类新的题时，经常把这种类型的问题一般化，找出其本质，善于总结。 4.培养学生的抽象概括能力是长期艰苦的工作，在奥赛教学中要随时注意培养，有意识地根据不同情况严格训练和要求，逐步深入，提高要求。 （二）推理能力 数学运算、证明以及数学发现活动都离不开推理，数学的知识体系实质上就是用逻辑推理的方法构成的命题系统，因此，推理与数学关系密切，教学中应注重推理能力的培养。 逻辑推理在数学中是普遍存在的，应予以重视，除逻辑推理能力而外，更要注意直觉推理能力的培养，因为直觉推理使数学思维具有灵活性、敏捷性和创造性，使人们去猜想。 奥赛教学中如何培养学生的推理能力呢？我们认为重要的是要注意推理过程的教学，一开始就要逐步养成推理过程“步步有根据”，每步都符合形式逻辑，严密的推理，在熟练的基础上又要逐步训练学生简缩推理