§4 反证法.ppt

§4　反证法 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法． 2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题. 1.反证法的概念及思考过程和特点．(重点) 2.用反证法解答问题．(重点、难点) 1．综合法 从命题的 出发，利用 、 、 及 ，通过 一步一步地接近要证明的 ，直到完成命题的证明，这种思维方法称为 ． 2．分析法 定义：一般地，从要证明的 出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件( )为止，这种证明方法叫做 ． 3． 和 称为直接证明法． 1．反证法 在证明数学命题时，先 成立，在这个前提下，若推出的结果与 、 、 相矛盾，或与命题中的 相矛盾，或与 相矛盾，从而说明 不可能成立，由此断定 成立，这种证明方法叫作反证法． 2．反证法常见矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与 等矛盾． 1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用(　　) ①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论． A．①②　　　　　　　　　 B．②③ C．①②③ D．①②④ 解析：　考查反证法的基本思想． 答案：　C 3．用反证法证明命题“x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时应假设为________． 解析：　否定结论时，一定要全面否定x≠a且x≠b的否定为x＝a或x＝b. 答案：　x＝a或x＝b 4．在不等边△ABC中，A是最小角，求证：A＜60°. 证明：　假设A≥60°， ∵A是不等边三角形ABC的最小角(不妨设C为最大角)， ∴B≥A≥60°，C＞A≥60°， ∴A＋B＋C＞180°，与三角形内角和等于180°矛盾， ∴假设错误，原结论成立，即A＜60°. 已知：一点A和平面α. 求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直． [证明过程]　根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明． (1)如图①，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB、AC，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a. 图① 因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，a?α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾． (2)如图②，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB和AC(B、C为垂足)，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC， 因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC?α， 所以AB⊥BC，AC⊥BC. 图② 在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾． 综上，经过一点A只能有平面α的一条垂线． 2.求证：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行． 证明：　∵点P在直线外， ∴点P和直线a确定一个平面，设该平面为α. 在平面α内，过点P作直线b，使得b∥a，则过点P有一条直线与a平行． 假设过点P还有一条直线c与a平行． ∵a∥b，a∥c，∴b∥c. 这与b、c相交于一点P矛盾， 故假设不成立，原命题正确． 设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1. 由条件不能正面证明结论，采用反证法假设结论不成立，将已知条件代入整理可得出与已知条件矛盾． [证明过程]　假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1， 因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0， 即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0， 所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0， 所以a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾． 故假设不成立，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1. 1．间接证明不是从正面论证命题的真实性，而是通过证明它的等价命题，间接地达到证明的目的，最常见的间接证明是反证法． 2．间接论证的应用，有一定困难．因为在间接证明过程中，不得不暂时离开所讨论的论题，引进许多补充的材料(如结论的反面等)，致使全部过程复杂化．但这种方法我们务必学会，因为在学习中，时常会遇到这样的命题，当时并无直接证明它的论据，必须用间接法来证明它的真实性． 1．反证法的原理 反证法的原理是“否定之否定等于肯定”． 反证法的主要依据是逻辑中的排中律．排中律的一般表现形式是：或者是A，或者是非A，即在同一讨论过程中，A和非A有一个且仅有一个是对的．不能有第三种情形出