3-3.1综合法.ppt

§3　综合法与分析法 3.1　综合法 1.理解综合法的意义，掌握综合法的思维特点． 2.能够熟练地运用综合法证明数学问题. 1.综合法的概念及思考过程和特点．(重点) 2.利用综合法解答(证明)问题．(重点、难点) 1．三段论的推理模式分别是 、 、 ．大前提是指 ；小前提是 ；结论则是 ． 2．数学证明的含义：根据命题的 和已知的 、 、 ，利用演绎推理的法则将命题推导出来． 1．综合法的定义 从命题的条件出发，利用 、 、 及 通过 一步步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为 ． 答案：　C 2．a、b、c为互不相等的正数，且a2＋c2＝2bc.则下列关系中可能成立的是(　　) A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b 解析：　∵a、b、c为互不相等的正数，∴a2＋c2＞2ac， 即2bc＞2ac.∴b＞a.排除A、D.从B、C来看，b＞c， ∴a2＋c2＝2bc＞2c2.∴a2＞c2，∴a＞c. ∴b＞a＞c可能成立． 答案：　C 3．设p＝2x4＋1，q＝2x3＋x2，x∈R，则p与q的大小关系是______． 答案：　p≥q 4．已知a，b，c∈R，且它们互不相等，求证： a4＋b4＋c4a2b2＋b2c2＋c2a2. 证明：　∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，a4＋c4≥2a2c2， ∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)． 即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. 又∵a，b，c互不相等， ∴a4＋b4＋c4a2b2＋b2c2＋c2a2. 1.在△ABC中，三角形内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列， 求证：△ABC为等边三角形． 证明：　由A、B、C成等差数列，有2B＝A＋C， 因为A、B、C为△ABC内角，所以A＋B＋C＝π，所以B＝. 由a、b、c成等比数列，有b2＝ac， 由余弦定理及b2＝ac，可得：b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac， 证明：　(1)由于x≥1，y≥1，所以 x＋y＋≤＋＋xy?xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2. 将上式中的右式减左式，得 [y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)． 由于x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立． 如下图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F， 求证：AF⊥SC. [证明过程]　∵SA⊥平面ABC，BC?平面ABC， ∴SA⊥BC， 又∵AB⊥BC，AB∩SA＝A，∴BC⊥平面SAB， ∵AE?平面SAB，∴BC⊥AE， ∵AE⊥SB，SB∩BC＝B，∴AE⊥平面SBC， ∵SC?平面SBC，∴AE⊥SC， 又∵EF⊥SC，AE∩EF＝E， ∴SC⊥平面AEF， ∴SC⊥AF，即AF⊥SC. 3.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1各棱长为4，E、F、G、H分别是AB、AC、A1C1、A1B1的中点， 求证：平面A1EF∥平面BCGH. ∴四边形A1FCG为平行四边形． ∴A1F∥GC. 又∵A1F?平面BCGH，CG?平面BCGH， ∴A1F∥平面BCGH. 又∵A1F∩EF＝F， ∴平面A1EF∥平面BCGH. 1．从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件． 2．用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹． 3．由于综合法证明命题“若A则D”的思考过程可表示为如下图所示： 故要从A推理到D，由A推演出的中间结论未必惟一，如B、B1、B2等，可由B、B1、B2能推演出的进一步的中间结论则可能更多，如C、C1、C2、C3、C4等等．最终能有一个(或多个)可推演出结论D即可． 4．在综合法中，每个推理都必须是正确的，每个论断都应当是前面一个论断的必然结果．因此所用语气必须是肯定的． ◎如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H是垂足， 求证：B1H⊥AD1 【错解】　证明：∵B1H⊥D1O，D1O?面AD1C ∴B1H⊥面AD1C 又∵AD1?面AD1C ∴B1H⊥AD1 【错因】　上述证法错在对线面垂直的判定定理掌握不准