4-1.1数的概念的扩展.ppt

§1　数系的扩充与复数的引入 1.1　数的概念的扩展 1.通过实例，了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算法则、方程理论)在数系扩充过程中的作用． 2.理解复数的基本概念． 3.了解复数的代数表示方法. 1.复数的概念．(重点) 2.复数的代数形式．(重点、难点) 3.复数与实数的关系．(易混点) 1．实数系的扩充过程 自然数―→ ―→ ―→ 2．实数集的包含关系 1．复数的有关概念 (1)复数 ①定义：形如a＋bi的数叫做复数，其中a、b∈R，i叫做 ．a叫做复数的 ，b叫做复数的 ． ②表示方法：复数通常用 表示，即 . (2)复数集 ①定义： 的全体组成的集合叫做复数集． ②表示：通常用大写字母C表示． (2)集合表示 1．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　　) A．1　　　　　　　 B．2 C．1或2 D．－1 答案：　B 2．设C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，全集U＝C，那么下列结论正确的是(　　) A．A∪B＝C　　　　　　　B．?UA＝B C．A∩(?UB)＝? D．B∪(?UB)＝C 答案：　D 4．实数m取什么值时，复数lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i是 (1)纯虚数；(2)实数？ 下列命题中，正确命题的个数是(　　) ①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1； ②若a，b∈R且ab，则a＋ib＋i； ③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0. A．0　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 [解题过程] 答案：　A 1.已知下列命题： ①复数a＋bi不是实数； ②两个复数不能比较大小； ③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2； ④若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数； ⑤若a＋bi＝c＋di，则a＝c且b＝d. 其中真命题的个数是(　　) A．0个 B．1个 C．3个 D．4个 解析： 答案：　A 当实数m为何值时，复数z＝2m2－3m＋1＋(m2－5m＋4)i. (1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)为零． [解题过程]　(1)要使z为实数，须有m2－5m＋4＝0， ∴m＝1或m＝4. 即当m＝1或m＝4时，z为实数； (2)要使z为虚数，须有m2－5m＋4≠0，即m≠1且m≠4. ∴当m≠1且m≠4时，z为虚数． 已知复数z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1z2，求a的值． 由②得a＝0或a＝－1， 由③得6a－10， 由①②得a＝0代入③成立． 因此a的值为0. 3.若本例改为“已知复数z＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i且z0”，求a的值． 数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，像x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，为了解决这个问题，需要把数的范围作进一步的扩充，为此，人们引入一个新数i，叫虚数单位，且规定(1)i2＝－1；(2)i可与实数进行四则运算；且原有的加、乘运算律仍成立，这样就产生了形如：z＝a＋bi(a，b∈R)的数，叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部，显然i是－1的一个平方根，即i是方程x2＝－1的一个解． 复数z＝a＋bi(a，b∈R)中注意 (1)a，b∈R，这是确定z的实部、虚部的前提，并可进一步判定z是实数、虚数，不是纯虚数． (2)设复数z时，要注明a，b的范围． 如z是纯虚数，可设为z＝bi(b∈R且b≠0)， z是虚数，可设为z＝a＋bi(a、b∈R且b≠0)． [特别提醒]　形如bi的数不一定是纯虚数，只有b∈R且b≠0时才是纯虚数． ◎已知x2＋(t2－t＋2tx)i＝0，x为纯虚数，求实数t的值． 【错因】　没有仔细审题，而是直接将x，t都作为实数来用了．其实t是实数，x为纯虚数，故t2－t＋2tx不是实数，也就不能作为复数的虚部． 由②得t＝0或t＝1. 当t＝0时，由①得b＝0，与b≠0矛盾，故舍去． 当t＝1时，由①得b＝－2或b＝0(舍去)． 综上可知，实数t的值为1. No.1 预习学案 No.2 课堂讲义 No.3 课后练习 工具 第四章 数系的扩充与复数的引入 栏目导引 整数 有理数 实数 虚数单位 实部 虚部 小写字母z z＝a＋bi 复数 答案：　3－3i 当x＝1，y＝i时x2＋y2＝0 假命题 ③ 由于两个虚数不能比较大小 假命题 ② 由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件 假命题 ① 理由 结论 序号 a，b，c，d为