4-2.2最大值、最小值问题.ppt

2.2　最大值、最小值问题 1.理解函数最值的概念． 2.掌握利用导数求函数最值的方法． 3.掌握利用导数求最值的步骤. 1.求函数在[a，b]上的最值．(重点) 2.函数的极值与最值的区别与联系．(易混点) 3.利用函数的单调性，图象等综合考查．(难点) 1．函数极值的判定 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值． 2．函数y＝x2＋4x＋4在[－3,4]上的最大值为 ，最小值为 . 1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得 和 并且函数的最值必在 或 取得． 2．求函数y＝f(x)在[a，b]上最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)的 ； (2)将函数y＝f(x)的 与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 1．函数f(x)＝x3－3x＋1的闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是(　　) A．－1、－1　　　　　　 B．1、－17 C．3、－17 D．9、－19 解析：　f(x)＝3x2－3，令f(x)＝3x2－3＝0，∴x2＝1，∴x＝±1 f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，∴最大值3.最小值－17. 答案：　C 3．函数f(x)＝lnx－x在(0，e]上的最大值为________． 答案：　－1 4．已知函数f(x)＝2x3－12x.求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值． [解题过程]　(1)f′(x)＝－4x3＋4x， 令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得 x＝－1，x＝0，x＝1. 当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表： 1.已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37. (1)求实数a的值； (2)求f(x)在[－2,2]上的最大值． 解析：　(1)∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)． 令f′(x)＝0得x＝0或x＝2. ∵f(－2)＝a－40，f(0)＝a，f(2)＝a－8， 比较知f(x)的最小值是f(－2)， 由已知f(－2)＝a－40＝－37， ∴a＝3. (2)由a＝3知f(0)＝3，f(2)＝－5 ∴f(0)＝3是f(x)在[－2,2]上的最大值． 故m≥2时才可能有符合条件的m，n. 当m＝2时，只有n＝3符合要求． 当m＝3时，只有n＝5符合要求． 当m≥4时，没有符合要求的n. 综上所述，只有m＝2，n＝3或m＝3，n＝5满足上述要求． 已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)． (1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值； (2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)＜2c恒成立，求c的取值范围． (2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，f′(x)＝3x2－6x－9，当x变化时，有下表： 而f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54， ∴x∈[－2,6]时，f(x)的最大值为c＋54. 要使f(x)＜2c恒成立，只要c＋54＜2c即可． ∴c＞54. ∴c的取值范围为(54，＋∞)． 1．函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较． 2．函数的极值不一定是最值，需要将极值和区间端点的函数值进行比较，或者考查函数在区间内的单调性． 3．如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值． 4．可导函数在极值点的导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点．例如，函数y＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是极值点． (1)抽象出实际问题的数学模型，列出变量之间的函数关系式y＝f(x)； (2)求出函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的取值大小，最大者为最大值、最小者为最小值． ◎已知a∈R，f(x)＝(x2－4)(x－a)． (1)求f′(x)； (2)若f′(－1)＝0，求函数f(x)在[－2,4]上的最大值和最小值． 【错因】　第(2)问，求函数f(x)在[－2,4]上的最大值和最小值时，误将f(x)在[－2,4]上的极值当作了最值，再就是没有将区间端点的函数值与极值进行大小比较，从而导致出现错误． No.1 预习学案 No