高中数学苏教版选修 函数的极值与导数 课件.pptVIP

关注用导数本质及其几何意义解决问题 函数的极值与导数 a b y=f(x) x o y y=f(x) x o y a b f (x)0 f (x)0 1.定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,如果在 这个区间内f/（x） 0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内 的增函数;如果在这个区间内f/（x）0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数. 一、知识回顾: 如果在某个区间内恒有 ,则 为常数. 2.求函数单调性的一般步骤 ①求函数的定义域; ②求函数的导数 f/（x） ; ③解不等式 f/（x）0 得f(x)的单调递增区间; 解不等式 f/（x）0 得f(x)的单调递减区间. 3.思考： 观察下图，当t=t0时距水面的高度最大,那么函数 h（t）在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？ 二、新课讲解——函数的极值: 1. 观察右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象,从图象我们可以看出下面的结论: 函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个极小值。 x 2 y 0 o a X1 X2 X3 X4 b a x y 如图，函数 y=f（x）在x1，x2，x3，x4等点的 函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ Y=f（x）在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f（x）的导数的符号有什么规律？ 2.探索思考： 从而我们得出结论: 若x0满足 f/(x)=0,且在x0的两侧的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且如果 f/(x) 在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果 f/(x) 在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.极大值与极小值统称为极值. 从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正. o a X00 b x y o a X0 b x y 如上左图所示,若x0是f(x)的极大值点,则x0两侧附近点的函数值必须小于f(x0) .因此, x0的左侧附近f(x)只能是增函数,即 ; x0的右侧附近f(x)只能是减函数,即 同理,如上右图所示,若x0是f(x)极小值点,则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数,即 ;在x0的右侧附近只能是增函数,即 . 三、例题选讲: 例1:求y=x3/3-4x+4的极值. 解: 令 ,解得x1=-2,x2=2. 当x变化时, ,y的变化情况如下表: ↗ 极小值-4/3 ↘ 极大值28/3 ↗ y + 0 - 0 + y’ (2,+∞) 2 (-2,2) -2 (-∞,-2) x 因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3. 四.探索思考: 导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.例如,函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但它不是极值点,原因是函数在点x=0处左右两侧的导数都大于零. 因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充分条件是在这点两侧的导数异号. 一般地,求函数y=f(x)的极值的方法是: (1):如果在x0附近的左侧 f/(x)0 右侧 f/(x)0 , 那么f(x0)是极大值; (2):如果在x0附近的左侧 f/(x)0 右侧 f/(x)0 , 那么f(x0)是极小值. 解方程f/(x)=0.当f/(x)=0时: ↗ + (-∞,-a) 极大值-2a 0 -a ↗ 极小值2a ↘ ↘ f(x) + 0 - - f’(x) (a,+∞) a (0,a) (-a,0) x 故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a. 例2:求函数