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练习 (2)存在这样的实数它的平方等于它本身。 (3)任一个实数乘以-1都等于它的相反数; (4)存在实数x,x3>x2; 同一全称命题、特称命题,由于自然语言的不同,可能有不同的表述方法: 作业 1、设a、b、c均为非零实数,求证:方程 ax2+2bx+c=0, bx2+2cx+a=0, cx2+2ax+b=0中至少有一个有实数根。 全称量词与存在量词 思考: 下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (1)x3; (2)2x+1是整数; (3)对所有的x∈R,x3; (4)对任意一个x∈Z,2x+1是整数。 语句(1)(2)不能判断真假,不是命题; 语句(3)(4)可以判断真假,是命题。 全称量词、全称命题定义: 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“ ”表示。 含有全称量词的命题,叫做全称命题。 常见的全称量词还有 “一切” “每一个” “任给” “所有的”等 。 全称命题举例: 全称命题符号记法: 命题:对任意的n∈Z,2n+1是奇数; 所有的正方形都是矩形。 通常,将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),…表示,变量x 的取值范围用M表示,那么, 全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立 ”可用符号简记为: 读作“对任意x属于M,有p(x)成立”。 解:(1)假命题; (2)真命题; (3)假命题。 例1 判断下列全称命题的真假: (1)所有的素数都是奇数; (2) (3)对每一个无理数x,x2也是无理数。 小 结: ——需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立 ——只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立即可 (举反例) 练习: 1 判断下列全称命题的真假: (1)每个指数函数都是单调函数; (2)任何实数都有算术平方根; (3) 思考: 下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (1)2x+1=3; (2)x能被2和3整除; (3)存在一个x0∈R,使2x+1=3; (4)至少有一个x0∈Z,x能被2和3整除。 语句(1)(2)不能判断真假,不是命题; 语句(3)(4)可以判断真假,是命题。 存在量词、特称命题定义: 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词, 并用符号“ ”表示。 含有存在量词的命题,叫做特称命题。 常见的存在量词还有 “有些”“有一个” “对某个”“有的”等 。 特称命题举例: 特称命题符号记法: 命题:有的平行四边形是菱形; 有一个素数不是奇数。 通常,将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),…表示,变量x 的取值范围用M表示,那么, 特称命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立 ”可用符号简记为: 读作“存在一个x0属于M,使p(x0)成立”。 解:(1)假命题; (2)假命题; (3)真命题。 例2 判断下列特称命题的真假: (1)有一个实数x0,使x02+2x0+3=0; (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3)有些整数只有两个正因数。 小 结: ——需要证明集合M中,使p(x)成立的元素x不存在。 ——只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0) 成立即可 (举例证明) 练 习: 2 判断下列特称命题的真假: (1) (2)至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数; (3) 解:(1)真命题; (2)真命题; (3)真命题。 3、用符号“ ”与“ ”表达下列命题: (1)实数都能写成小数形式; 小结: 2、全称命题的符号记法。 1、全称量词、全称命题的定义。 3、判断全称命题真假性的方法。 4、存在量词、特称命题的定义。 5、特称命题的符号记法。 6、判断特称命题真假性的方法。 ①存在x0∈M,使p(x)成立②至少有一个x0∈M,使 p(x)成立 ③对有些x0∈M,使p(x)成 立 ④对某个x0∈M,使p(x)成 立 ⑤有一个x0∈M,使p(x)成 立 ①所有的x∈M,p(x)成
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