高中数学苏教版选修第三章极大值与极小值1课件.pptVIP

3.3.2 极大值与极小值 单调性与导数的关系： 设函数y=f(x)在某个区间内可导， 如果f ′(x)0，则f(x)为增函数； 如果f ′(x)0，则f(x)为减函数； 如果f ′(x)=0，则f(x)为常数函数； 复习: y x O a b y=f(x) x1 f (x1) x2 f(x2) x3 f(x3) x4 f(x4) 函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点? 观察图像： 一、函数的极值定义 一般的，设函数f(x)在点x0附近有定义， 如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)； 如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)； ◆函数的极大值与极小值统称为极值. (极值即峰谷处的值------不一定最大或最小） 使函数取得极值的点x0称为极值点 数学建构 （3）极大值与极小值没有必然关系， 极大值可能比极小值还小. 注意： o a x1 x2 x3 x4 b x y P(x1,f(x1)) y=f(x) Q(x2,f(x2)) （1）极值是某一点附近的小区间而言 的,是函数的局部性质,不是整体的最值; （2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间 内可能有多个极大值和极小值； y x O 观察与思考：极值与导数有何关系？ 在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。 a b y=f(x) x1 f ?(x1)=0 x2 f ?(x2)=0 x3 f ?(x3)=0 x4 f ?(x5)=0 x5 观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系? o a x0 b x y f(x) f?(x) x0右侧 x0 x0左侧 x o a x0 b x y f(x) f?(x) x0右侧 x0 x0左侧 x 增 f?(x) 0 f?(x) =0 f?(x) 0 极大值 减 f?(x) 0 f?(x) =0 增 减 极小值 f?(x) 0 数学建构 请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？ f ?(x)0 y x O x1 a b y=f(x) 在极大值点附近 在极小值点附近 f ?(x)0 f ?(x)0 f ?(x)0 1、如果在x0附近的左侧f ’(x)0，右侧f ’(x)0， 则f (x0)是极大值； 2、如果在x0附近的左侧f ’(x)0，右侧f ’(x)0， 则f (x0)是极小值； 已知函数f(x)在点x0处是连续的，则 二、判断函数极值的方法 x2 左正右负为极大，右正左负为极小 注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。 例.判断下面4个命题，其中是真命题序号为 。 ①可导函数必有极值； ②函数在极值点必有定义； ③函数的极小值一定小于极大值 （设极小值、极大值都存在）； ④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。 ② 例1 求函数 的极值。 y y′ (2，+∞） 2 (-2，2） -2 (-∞，-2） x 解：定义域为R，y′=x2-4 由y′=0可得x=-2或 x=2 当x变化时，y′, y的变化情况如下表： 因此，当x=-2时， y极大值=17/3 当x=2时， y极小值=－5 + + 0 - 0 极大值 17/3 极小值 -5 求可导函数f(x)极值的 步骤： (2)求导数f ’(x)； (3)求方程f ’(x）=0的根； (4)把定义域划分为部分区间，并列成表格 检查f ’(x)在方程根左右的符号—— 如果左正右负（+ ~ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正（- ~ +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值； (1) 确定函数的定义域； 例2 求函数 y=(x2-1)3+1 的极值。 + (0,1) 0 1 y + 0 － 0 － y′ (1,+∞) 0 (-1,0) -1 (-∞,-1) x 解：定义域为R， y′=6x(x2-1)2。 由y′=0可得x1=-1, x2=0 ，