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* * 生活中经常会遇到求什么条件下可使用料最省,利润最大,效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题. 这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题.其中 不少问题可以运用导数这一有力工具加以解决. 复习:如何用导数来求函数的最值? 一般地,若函数y=f (x)在[a,b]上的图象是一条 连续不断的曲线,则求f (x) 的最值的步骤是: (1)求y=f (x)在[a,b]内的极值(极大值与极小值); (2)将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较, 其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 特别地,如果函数在给定区间内只有一个极值点, 则这个极值一定是最值。 5.1 2 4.5 1.25 2.5 价格(元) 0.6 规格(L) 问题情景一:饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品,若它们 的价格如下表所示,则 (1)对消费者而言,选择哪一种更合算呢? (2)对制造商而言,哪一种的利润更大? 例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造 成本是0.8pr2分,其中r是瓶子的半径,单位是厘米,已知每出 售1ml的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm,则每瓶饮料的利润何时最大,何时最小呢? (0,2) f (r) 0 f (r) (2,6] 2 r - + 减函数↘ 增函数↗ -1.07p 解:∵每个瓶的容积为: ∴每瓶饮料的利润: 解:设每瓶饮料的利润为y,则 (0,2) f (r) 0 f (r) (2,6] 2 r - + 减函数↘ 增函数↗ ∵f (r)在(2,6]上只有一个极值点 ∴由上表可知,f (2)=-1.07p为利润的最小值 -1.07p 例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造 成本是0.8pr2分,其中r是瓶子的半径,单位是厘米,已知每出 售1ml的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm,则每瓶饮料的利润何时最大,何时最小呢? 解:设每瓶饮料的利润为y,则 ∵当r∈(0,2)时, 而f (6)=28.8p,故f (6)是最大值 答:当瓶子半径为6cm时,每瓶饮料的利润最大, 当瓶子半径为2cm时,每瓶饮料的利润最小. 例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造 成本是0.8pr2分,其中r是瓶子的半径,单位是厘米,已知每出 售1ml的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm,则每瓶饮料的利润何时最大,何时最小呢? 解决优化问题的方法之一: 通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数学 模型,再通过研究相应函数的性质,提出优化方案, 使问题得到解决.在这个过程中,导数往往是一个有 力的工具,其基本思路如以下流程图所示 优化问题 用函数表示的数学问题 用导数解决数学问题 优化问题的答案 问题情景二:汽油使用效率何时最高 我们知道,汽油的消耗量 w (单位:L)与汽车的速度 v (单位:km/h) 之间有一定的关系,汽车的消耗量 w 是汽车 速度 v 的函数. 根据实际生活,思考下面两个问题: (1)是不是汽车的速度越快, 汽油的消耗量越大? (2)当汽车的行驶路程一定时,是车速快省油还是 车速慢的时候省油呢? 一般地,每千米路程的汽油消耗量越少,我们就说 汽油的使用效率越高(即越省油)。 若用G来表示每千米平均的汽油消耗量,则 这里的w是汽油消耗量,s是汽车行驶的路程 如何计算每千米路 程的汽油消耗量? 例2、通过研究,人们发现汽车在行驶过程中,汽油的 平均消耗率 g(即每小时的汽油消耗量, 单位: L / h) 与汽车行驶的平均速度v(单位: km)之间,有如图的 函数关系 g = f (v) ,那么如何根据这个图象中的数据来 解决汽油的使用效率最高的问题呢? v(km/h) g (L/h) O 120 90 30 50 5 10 15 分析:每千米平均的汽油消耗量 ,这里 w是汽油 消耗量,s是汽车行驶的路程 ∵w=gt,s=vt P(v,g) 的几何意 义是什么? 如图所示, 表示经过原点 与曲线上的点 P(v,g)的直线 的斜率k 所以由右图可知,当直线OP 为曲线的切线时,即斜率k取 最小值时,汽油使用效率最高 例3、经统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的 耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式 可以表示为: 若已知甲、乙两地相距100千米。 (I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地
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