【数学】第二章《推理与证明复习小结》课件（新人教A版选修1-2）.pptVIP

* 第二章　推理与证明复习小结 推理与证明 推理 证明 合情推理 演绎推理 直接证明 数学归纳法 间接证明 比较法 类比推理 归纳推理 分析法 综合法 反证法 知识结构 证 为 数 为 数 证 一.综合法 证 为 数 为 数 证 证 证明: 要证 只需证 只需证 只需证 只需证 因为 成立. 所以 成立. 二.分析法 三:反证法 问题一: 求证:两条相交直线有且只有一个交点. 注:1.结论中的有且只有(有且仅有)形式出现, 是唯一性问题,常用反证法 2.有且只有的反面包含1)不存在;2)至少两个. 问题二:求证一元二次方程至多 ------有两个不相等的实根. 注:所谓至多有两个,就是不可能有三个,要证“至多有两个不相等的实根”只要证明它的反面“有三个不相等的实根”不成立即可. 问题:如图;已知L1、L2 是异面直线且 A、B∈ L1,C、D∈ L2,, 求证;AC,SD也是异面直线. a C D A B L1 L2 五.归纳、类比、猜想、证明 例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2. 证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又f(2)=2?(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立. (2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足 题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中 的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l必与平面内其他k条直线都相交,有k个交点. 又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k个交点两两不相同,且与平面内其他的k(k-1)/2个 交点也两两不相同. 从而平面内交点的个数是 k(k-1)/2+k=k[(k-1)+2]/2 =(k+1)[(k+1)-1]/2. 这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数为: f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2. 根据(1)、(2)可知,命题对一切大于1的正整数都成立. 说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当 n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立. 注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论: (1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线, ---则: f(n)=n2. (2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域. 练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 　　　　------的条数f(n+1)=f(n)+_________. n-1 练习2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或 三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将 空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成 f(k+1)=f(k)+__________个区域. 2k * * *