高中数学新人教A版选修 2.1.2求曲线的方程精品同步导学 课件.ppt

2．1.2　求曲线的方程 1.了解求曲线方程的步骤． 2.会求简单曲线的方程. 1.利用坐标法根据曲线的性质求曲线的方程和已知曲线的方程讨论曲线的类型．(重点) 2.利用不同的方法求曲线的方程及对坐标法的理解．(难点) 3.求曲线方程的题目经常与向量、直线方程、方程思想结合在一起命题. 1．在我们的现实生活中，处处可见曲线的身影，从飞逝的流星到雨后的彩虹，从古代的石拱桥到现代雄伟壮观的跨江(河)桥梁，从众多的商品设计到卫星上天的控制等等，无不体现人们对曲线的刻画和应用．随着科学技术的运用，设计者运用点的坐标来刻画曲线，即把曲线数量化，曲线与点的坐标如何建立联系呢？ 2．你能求出到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点所满足的方程吗？求曲线方程的一般步骤是什么？ 求曲线的方程的一般步骤 1．已知A(1,0)，B(－1,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝2，则点M的轨迹方程是(　　) A．y＝0(－1≤x≤1)　 B．y＝0(x≥1) C．y＝0(x≤－1) D．y＝0(|x|≥1) 答案：　C 解析：　根据圆的定义，到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，故点M的轨迹是以O为圆心、以2为半径的圆弧．故选D. 答案：　D 4．已知△ABC，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程． 已知B(－1,0)，C(2,0)是△ABC的顶点，∠ACB＝2∠ABC.求顶点A的轨迹方程． [解题过程]　 [题后感悟]　(1)本例用直接法求轨迹方程，即直接根据已知等量关系式列方程求解． (2)注意：列方程时，如果出现分母，要考虑可能为零的情况，如在本例中，分x≠2和x＝2两种情况讨论，并且据等量关系式和图象，又可判断x1.这些隐含的约束条件不仅要挖掘出来，还要在求出的方程中标示出来． 已知Rt△ABC，|AB|＝2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程． [解题过程]　 以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则有A(－a,0)，B(a,0)，设顶点C(x，y)． 由△ABC是直角三角形可知|OC|＝|OB|＝a， C点的轨迹是以O为圆心，以a为半径的圆(除去A、B两点)， ∴C点的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)． [题后感悟]　(1)求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称性的原则，即借助图形中互相垂直的直线建系，借助图形的对称性建系．一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁． (2)如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程．利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征． 2.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程． 动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程． (3)何时用代入法求轨迹方程？ 已知一个点在已知曲线上运动，并带动另一个点M运动，在求动点M的方程时，往往用代入法． 3.已知点A是抛物线y＝x2－4上的动点，过A作AB⊥x轴，垂足为B，试求线段AB的中点M的轨迹方程． 解析：　设M(x，y)，A(x0，y0)，则B点坐标为(x0,0)． ∵M为线段AB的中点， 1．坐标法与解析几何的研究对象 (1)坐标法：借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程f(x，y)＝0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这就叫做坐标法． (2)用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何． [特别提醒]　解析几何是在坐标系的基础上，用代数方法研究几何问题的一门数学学科．解析几何开创了数、形结合的研究方法，使数学的发展进入了一个新阶段，解析几何成为进一步学习数学、物理和其他一些学科的基础． 2．求曲线方程(轨迹方程)常见的方法 直接法 3.建立适当的坐标系 (1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系； (2)若已知两定点，常以两定点的中点为原点，两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系； (3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直角坐标系； (4)若已知一定点和一定直线，常以点到直线的垂线段的中点为原点，以点到直线的垂线的反向延长线为x轴建立直角坐标系． ◎等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个顶点是B(3,5)，求另一个顶点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？ 【错因】　造成以上错误的原因是没有认真考虑题目要求的几何条件实际上有两个：(1)A、B、C三点要组成一个三角形；(2)A、B、C三点