高中数学新人教A版选修 2.3.2《抛物线的简单几何性质》 课件.ppt

2.3.2《抛物线的简单几何性质》 教学目标 知识与技能目标 使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质． 从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力 过程与方法目标 复习与引入过程 1．抛物线的定义是什么？ 请一同学回答．应为：“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．” 2．抛物线的标准方程是什么？ 再请一同学回答．应为：抛物线的标准方程是y2=2px(p＞0)，y2=-2px(p＞0)，x2=2py(p＞0)和x2=-2py(p＞0)． 下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)出发来研究它的几何性质．《板书》抛物线的几何性质 广东省阳江市第一中学周如钢 例2 例1答案 知识要点3 y ﹒ x o 复习 结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形,探索其的几何性质: (1)范围 (2)对称性 (3)顶点 类比探索 x≥0,y∈R 关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴. 抛物线和它的轴的交点. X Y (4)离心率 (5)焦半径 (6)通径 始终为常数1 通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。 |PF|=x0+p/2 x O y F P 通径的长度：2P 思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？ 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。 特点 1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的,为1; 5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P越大,开口越开阔 顶点 准线 范围 对称轴 e 焦点 方程 图 形 l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2 = 2px （p0） y2 = -2px （p0） x2 = 2py （p0） x2 = -2py （p0） x≥0 y∈R x≤0 y∈R y≥0 x∈R y ≤ 0 x∈R (0,0) x轴 y轴 1 变式: 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点 M(2, )的抛物线有几条,求它的标准方程. 典型例题： 例1.已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点,并且过点M(2, ),求它的标准方程. 当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0)(x2=2my (m≠0)),可避免讨论 x y O F A B B’ A’ 例2.斜率为1的直线L经过抛物线 的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长. y2 = 4x 解法一:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1 x y O F A B B’ A’ 例2.斜率为1的直线L经过抛物线 的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长. y2 = 4x 解法二:由题意可知, 分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷． 变式： 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m， 交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆 和这抛物线的准线相切． 证明：如图． 所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切． 设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C， 则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜ ∴｜AB｜ ＝｜AF｜＋｜BF｜ ＝｜AD｜＋｜BC｜ =2｜EH｜ 练习: 1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是______________. 2.过抛物线 的焦点,作倾斜角为 的直线,则被抛物线截得的弦长为_________ 3.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B,且|AB|=4 ,求直线AB的方程. y2 = 8x X=3 例3.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴. x O y F A B D 例3 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。 x y O F A B D 小结: 1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径; 2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题; 离心率 对称性 顶点 范围 标准方