高中数学新人教A版选修 2.4.2第2课时抛物线方程及性质的应用精品同步导学 课件.ppt

第2课时　抛物线方程及性质的应用 1.掌握直线与抛物线位置关系的判断． 2.掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识． 3.掌握直线与抛物线相关的求值、证明问题. 1.直线与抛物线的位置关系．(重点) 2.直线与抛物线相交．(难点) 3.常与方程、不等式、三角函数、平面向量等知识结合命题，而且命题的形式多样化，其中解答题的形式居多. 1．已知抛物线y2＝2px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　) A．x＝1　　　　　 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 答案：　C 答案：　2 直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C有： (1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点． ①当Δ0，即k1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时l与C相交； ②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切； ③当Δ0时，即k1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离． 综上所述，(1)当k＝1或k＝0时，直线l与C有一个公共点； (2)当k1且k≠0时，直线l与C有两个公共点； (3)当k1时，直线l与C没有公共点． [题后感悟]　判断直线与抛物线的位置关系，将直线方程与抛物线方程联立消去一元，整理成关于x(或y)的方程．注意讨论二次项系数是否为零．若二次项系数为零，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴；若二次项系数不为零，则通过判别式Δ判断公共点的个数． 1.若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合． 利用待定系数法设出抛物线方程，然后与直线方程联立，利用两点间距离，结合根与系数的关系以及弦长公式求出待定系数． (2)在直线与抛物线的问题中经常遇到中点弦的问题，处理的基本方法是点差法或利用根与系数的关系快速地求出中点弦所在直线的斜率． 2.已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|. 如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值． [题后感悟]　在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值，过定点的问题，解决这类问题的方法有很多，例如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这类问题的关键是代换和转化．有时利用数形结合思想可以达到避繁就简、化难为易、事半功倍的效果． 3.A、B是抛物线y2＝2px(p0)上的两点，并满足OA⊥OB，求证： (1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别都是一个定值； (2)直线AB经过一个定点． 直线与抛物线的位置关系常见问题 (1)直线和抛物线的位置关系的问题包括交点个数的判断、弦长问题、中点弦问题、对称问题．在判断交点个数时，可以采用判别式法，也可以采用数形结合的方法．应特别注意当直线和抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个公共点． (2)直线与抛物线相交问题中有很多的定值问题，如果该定值是个待求的未知量，则可以利用特殊位置(如斜率不存在、斜率等于0等)找出该定值，然后证明该定值即为所求． ◎求过定点P(0,1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程． 【错因】　解决这类直线与抛物线位置关系的问题时，最容易丢掉斜率不存在和斜率为零的情况，画出草图是解决这类问题的有效方法． 【正解】　如图所示，若直线的斜率不存在， 则过点P(0,1)的直线方程为x＝0， y2＝－12x 答案：　4a 直线与抛物线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程：ax2＋bx＋c＝0. (1)若a≠0， 当Δ0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ0时，直线与抛物线相离，无公共点． (2)若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．因此，直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件． 答案：　B