高中数学新人教A版选修 2.4《抛物线》一 课件.pptVIP

抛物线的几何性质 第一课时 结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形,探索其的几何性质: (1)范围 (2)对称性 (3)顶点 类比探索 x≥0,y∈R 关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴. 抛物线和它的轴的交点. (4)离心率 (5)焦半径 (6)通径 始终为常数1 通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。 |PF|=x0+p/2 x O y F P 通径的长度：2P 思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？ 特点 1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的,为1; 5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P越大,开口越开阔 图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2 = 2px （p0） y2 = -2px （p0） x2 = 2py （p0） x2 = -2py （p0） x≥0 y∈R x≤0 y∈R y≥0 x∈R y ≤ 0 x∈R (0,0) x轴 y轴 1 例题 例1. 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点 M(2, )的抛物线有几条,求它的标准方程, 例2.斜率为1的直线L经过抛物线 的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长. 当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0)(x2=2my (m≠0)),可避免讨论 y2 = 4x 焦点弦的长度 练习:1.过抛物线 的焦点,作倾斜角为 的直线,则被抛物线截得的弦长为 y2 = 8x 2.过抛物线的焦点做倾斜角为 的直线L,设L交抛物线于A,B两点,(1)求|AB|;(2)求|AB|的最小值. 方程 图 形 范围 对称性 顶点 焦半径 焦点弦的长度 y2 = 2px （p＞0） y2 = -2px （p＞0） x2 = 2py （p＞0） x2 = -2py （p＞0） l F y x O l F y x O l F y x O x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 y≤0 x∈R l F y x O 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 （0,0） （0,0） （0,0） （0,0） 例3.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴. x O y F A B D 练习:P68 T3 y O x B A 等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(P0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则ΔAOB的面积为 A. 8p2 B. 4p2 C. 2p2 D. p2 1、已知抛物线的顶点在原点，对称 轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那 么抛物线通径长是 . 2、一个正三角形的三个顶点，都在抛 物线 上，其中一个顶点为坐标 原点，则这个三角形的面积为 。 例2、已知直线l：x=2p与抛物线 =2px(p0)交于A、B两点，求证：OA⊥OB. 证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-2p) 所以 =1， =-1 因此OA⊥OB 推广1 若直线l过定点(2p,0)且与抛物线 =2px(p0)交于A、B两点，求证：OA⊥OB. x y O y2=2px A B L:x=2p C(2p,0) x y O y2=2px A B l C(2p,0) 证明：设l 的方程为y=k(x-2p) 或x=2p 所以OA⊥OB. 代入y2=2px得， 可知 又 直线l过定点(2p,0) 推广2： 若直线l与抛物线 =2px(p0)交于A、B两点，且OA⊥OB ，则__________ x y O y2=2px A B l C(2p,0) 验证：由 得 所以直线l的方程为 即 而因为OA⊥OB ，可知 推出 ，代入 得到直线l 的方程为 所以直线过定点（2p,0)