高中数学新人教A版选修 3.2第3课时空间向量与空间角精品同步导学 课件.ppt

第3课时　空间向量与空间角 1．理解直线与平面所成角的概念． 2．能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角求法问题． 3．体会空间向量解决立体几何问题的三步曲. 1．向量法求解线线、线面、面面的夹角．(重点) 2．线线、线面、面面的夹角与向量的应用．(难点) 1.山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科技人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A处，乙站在山坡斜面上的B处，从A、B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30 m和40 m，CD的长为60 m，AB的长为80 m. 水平地面与山坡斜面所成二面角的 余弦值是多少？ 2．空间角 空间角的向量求法 1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　) A．120°　　　　　 B．60° C．30° D．以上均错 答案：　C 2．设ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥面ABCD，则异面直线AC与BF所成角等于(　　) A．45° B．30° C．90° D．60° 解析：　建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，C(1,1,0)，F(0,0,1)，B(0，1,0)， 答案：　A 3．向量a＝(0，－1,3)，b＝(2,2,4)分别在二面角的两个半平面内，且都与二面角的棱垂直，则这个二面角的余弦值为________． 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，求直线AM与CN所成的角的余弦值． [题后感悟]　如何用坐标法求异面直线所成的角？ (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)找到两条异面直线的方向向量的坐标形式； (3)利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角； (4)结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角． 2．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点． (1)证明：PE⊥BC； (2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值． (2011·湖北高考)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合． (1)当CF＝1时，求证：EF⊥A1C； (2)设二面角C－AF－E的大小为θ， 求tan θ的最小值． 如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角A－A1D－B的余弦值． [策略点睛] [题后感悟]　如何利用法向量求二面角的大小？ (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量； (3)求出两个法向量的夹角； (4)判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角； (5)确定出二面角的平面角的大小． 3.底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值． 2．如何正确认识二面角？ (1)二面角是一个空间图形，它是由两个半平面和一条直线构成的图形，可以类比平面内的角． (2)符号α－l－β表示以l为棱，α、β为两个半平面的二面角． (3)两个平面相交，可以构成四个二面角． (4) 在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，在两个半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α－l－β的平面角． 【错因】　由平面的法向量求二面角大小时，必须分清二面角的大小与向量夹角的大小之间的关系，本错解未注意到二面角实际是一个锐二面角． 解析：　 方法一：如右图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 设PA＝AB＝a，AC＝b， [0°，180°] 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 二面角的 平面角 [0°，90°] 直线与它在这个平面内的射影所成的角. 直线与平面 所成的角 (0°，90°] 设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角. 异面直线 所成的角 范围 定义 角的分类 求异面直线所成的角，可以先建立空间直角坐标系，求出直线AM与NC的方向向量的坐标形式，再利用向量的夹角公式计算即可． * *