高中数学新人教A版选修 直接证明与间接证明五 课件.pptVIP

变形１、平面内有n（n≥2)条直线，任何两条都不平行，任何三条都不过同一点，线段的条为　　，射线的条数为　　，求　、　的表达式 变形2、平面内有n（n≥2)条直线，任何两条都不平行，任何三条都不过同一点，这n条直线将平面分成的平面区域的块数为个g(n), g(n)=? 变形３　平面内有n个圆，任何两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆将平面分成　f(n)个部分．求f(n)？ 变形３　平面内有n个圆，任何两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆将平面分成　　　　　 个部分． 2.1 数学归纳法 及其应用举例 （5） 例题选讲 分析：画出n=2，3，4，5时的图形示意图， 观察交点的变化规律。 例6 平面内有n(n1) 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2. n 图 形 图 形 n 交点个数 交点个数 2 3 4 5 f(2)=1 f(3)=3 =1+2 =f(2)+2 f(4)=6 =3+3 =f(3)+3 f(5)=10 =6+4 =f(4)+4 从k条到k+1条交点增加了k点，应证f(k+1)=f(k)+k 几何问题 例题选讲 几何问题 例6 平面内有n(n1) 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2. 证明: (1) 当n=2时两条直线的交点只有一个，又 f(2)=2(2-1)/2=1, 因此当n =2时，命题成立。 （2）假设n=k(k1)时命题成立，就是说，平面内满足 题设的任何k条直线的交点的个数f(k)=k(k-1)/2. 现在来考虑平面内有k+1条直线的情况，任取其中的一 条直线，记为L,由题设，L和其它k条直线必有k个不同 交点，又根据假设，其它k条直线的交点的个数f(k)等于 k(k-1)/2,根据题设，这k(k-1)/2个和这k个点是不同的交 点，从而平面内满足题设的k+1条直线的交点的个数是 K(k-1)/2 + k =k[(k-1)+2]/2=(k+1)[(k+1)-1]/2. 这就是说，当n=k+1时，k+1条直线的交点的个数 F(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2. 根据（1）（2），可知命题对任何大于1的正整数都成立。 证明：（１）当n=1时，一个圆把平面分成二部分，且 因此，n=1时命题成立． （２）假设n=k时，命题成立，即k个圆把平面分成 ,如果增加一个满足的任一个圆，则这个圆必与前k个圆交于2k个点。这2k个点把这个圆分成2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成为两部分。因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上以增加了2k部分，即有 * *