高中数学新人教A版选修1-2《2.2.1综合法和分析法》课件1.ppt

2.2　直接证明与间接证明 2．2.1　综合法和分析法 第1课时　综合法及其应用 【课标要求】 1．了解直接证明的基本方法——综合法． 2．理解综合法的思考过程、特点，会用综合法证明数学问题． 【核心扫描】 1．理解综合法解决数学问题的思路及步骤．(重点) 2．会用综合法解决较复杂的数学问题．(难点) 自学导引 1．直接证明 从题目的条件或结论出发，根据已知的定义、定理、公理等，通过推理直接推导出所要证明的结论，这种证明方法称为直接证明．常用的直接证明方法有综合法和分析法． 2．综合法 (1)定义：一般地，利用 和某些数学 、 、 等，经过一系列的 ，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． (2)框图表示：用P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为： 已知条件 定义 定理 公理 推理论证 想一想：综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ 提示　综合法的推理过程是演绎推理，因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”． 名师点睛 1．综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因导果的证明方法． 综合法的证明步骤用符号表示是： P0(已知)?P1?P2?…?Pn(结论) 2．综合法证明问题的步骤 第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法． 第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路． 第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取． 3．综合法格式 从已知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结论，这就是顺推法的格式，它的常见书面表达是“∵，∴”或“?”． 规律方法　在用综合法证明不等式时， 常利用不等式的基本性质，如同向不等式相加，同向不等式相乘等，但在运用这些性质时，一定要注意这些性质成立的前提条件． 证明　(1)在四棱锥PABCD中， 因为PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，故PA⊥CD. ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC， 而AE?平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA， ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD， 且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD. 而PD?平面PCD，∴AE⊥PD， ∵PA⊥底面ABCD， PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD， ∴AB⊥PD， 又∵AB∩AE＝A， 综上得PD⊥平面ABE. 规律方法　立体几何中线面之间垂直关系的证明是高考考查的重点，利用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面及面面之间垂直关系的转化．另外，利用一些常见的结论还常常可以将线面间的垂直与平行进行转化．比如：两条平行线中一条垂直于平面α，则另外一条也垂直于平面α；垂直于同一条直线的两个平面相互平行等． 【变式2】 如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2. (1)证明PA∥平面BDE； (2)证明AC⊥平面PBD； (3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值． 【题后反思】 (1)综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件． (2)综合法不但是数学证明中的重要方法之一，也是其他解答题步骤书写的重要方法，其特点是“执因索果”．综合法在数学证明中的应用非常广泛，用它不但可以证明不等式、立体几何、解析几何问题，也可以证明三角恒等式、数列问题、函数问题等等． 单击此处进入 活页规范训练